kaoyan1basic 高等数学 第1题

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📝 题目

### 【强化篇】第1题（填空题） 1．设 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0\right\}$ ，则 $\iiint_{\Omega}\left(x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=$ $\_\_\_\_$ ．

💡 答案解析

**答案**：$\displaystyle \frac{2\pi}{5}$ **解析**： 步骤1：由对称性，$\iiint_\Omega x^2\mathrm{d}V=\iiint_\Omega y^2\mathrm{d}V=\iiint_\Omega z^2\mathrm{d}V$，且$\iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2)\mathrm{d}V=\iiint_\Omega r^2\mathrm{d}V$。 步骤2：球坐标，$\displaystyle 0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$，$\displaystyle 0\leq\phi\leq\frac{\pi}{2}$，$0\leq r\leq1$，$\displaystyle \iiint_\Omega r^2\mathrm{d}V=\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\int_0^{\pi/2}\sin\phi\mathrm{d}\phi\int_0^1 r^4\mathrm{d}r=\frac{\pi}{2}\cdot1\cdot\frac{1}{5}=\frac{\pi}{10}$。 步骤3：$\displaystyle \iiint_\Omega x^2\mathrm{d}V=\frac{1}{3}\cdot\frac{\pi}{10}=\frac{\pi}{30}$。 步骤4：原积分$\displaystyle =\iiint_\Omega (x^2+2y^2+3z^2)\mathrm{d}V=(1+2+3)\frac{\pi}{30}=\frac{6\pi}{30}=\frac{\pi}{5}$。 **难度**：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：利用对称性简化积分
由于积分区域Ω关于x、y、z对称（第一卦限的球体），且被积函数中x²、y²、z²的系数不同，但由对称性可知，∫∫∫_Ω x² dV = ∫∫∫_Ω y² dV = ∫∫∫_Ω z² dV。因此，原积分 = (1+2+3)∫∫∫_Ω x² dV = 6∫∫∫_Ω x² dV。
公式：∫∫∫_Ω x² dV = ∫∫∫_Ω y² dV = ∫∫∫_Ω z² dV
提示：注意对称性成立的条件：区域对称且被积函数在对称变量上形式相同。
步骤 2/4
目标：计算∫∫∫_Ω (x²+y²+z²) dV
在球坐标系下，x²+y²+z² = r²，体积元 dV = r² sinφ dr dφ dθ。积分区域Ω对应θ从0到π/2，φ从0到π/2，r从0到1。因此，∫∫∫_Ω (x²+y²+z²) dV = ∫_{0}^{π/2} dθ ∫_{0}^{π/2} sinφ dφ ∫_{0}^{1} r⁴ dr = (π/2) * 1 * (1/5) = π/10。
公式：∫∫∫_Ω r² dV = ∫_{0}^{π/2} dθ ∫_{0}^{π/2} sinφ dφ ∫_{0}^{1} r⁴ dr
提示：球坐标变换时，注意r²来自被积函数，r² sinφ来自体积元，所以被积函数为r⁴ sinφ。
步骤 3/4
目标：由对称性得到∫∫∫_Ω x² dV
由于x²+y²+z² = 3x²（由对称性，三个平方项相等），所以∫∫∫_Ω x² dV = (1/3)∫∫∫_Ω (x²+y²+z²) dV = (1/3)*(π/10) = π/30。
公式：∫∫∫_Ω x² dV = (1/3)∫∫∫_Ω (x²+y²+z²) dV
提示：注意：这里利用的是三个平方项相等，因此每个平方项等于总和的三分之一。
步骤 4/4
目标：计算原积分
原积分 = ∫∫∫_Ω (x²+2y²+3z²) dV = (1+2+3)∫∫∫_Ω x² dV = 6 * (π/30) = π/5。
公式：原积分 = (1+2+3) * (π/30) = 6π/30 = π/5
提示：注意系数相加时不要遗漏。

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