kaoyan1basic 高等数学 第2题
📝 题目
### 【基础篇】第2题（填空题） 2．设 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^{2} \leqslant y \leqslant x, 0 \leqslant z \leqslant 2-x-y\right\}$ ，则 $\iiint_{\Omega} x \mathrm{e}^{y+z} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}\mathrm{e}^2-\mathrm{e}+\frac{1}{2}$ **解析**： 步骤1：积分区域：$x$从$0$到$1$，$y$从$x^2$到$x$，$z$从$0$到$2-x-y$。 步骤2：$\iiint_\Omega x\mathrm{e}^{y+z}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\int_0^1 x\mathrm{d}x\int_{x^2}^x \mathrm{e}^y\mathrm{d}y\int_0^{2-x-y}\mathrm{e}^z\mathrm{d}z$。 步骤3：$\int_0^{2-x-y}\mathrm{e}^z\mathrm{d}z=\mathrm{e}^{2-x-y}-1$，则内层积分$\int_{x^2}^x \mathrm{e}^y(\mathrm{e}^{2-x-y}-1)\mathrm{d}y=\int_{x^2}^x (\mathrm{e}^{2-x}-\mathrm{e}^y)\mathrm{d}y=(x-x^2)\mathrm{e}^{2-x}-(\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{x^2})$。 步骤4：原积分$=\int_0^1 x[(x-x^2)\mathrm{e}^{2-x}-\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{x^2}]\mathrm{d}x$。分别计算： $\int_0^1 x(x-x^2)\mathrm{e}^{2-x}\mathrm{d}x=\mathrm{e}^2\int_0^1 (x^2-x^3)\mathrm{e}^{-x}\mathrm{d}x$，分部积分得$\mathrm{e}^2(2\mathrm{e}^{-1}-6\mathrm{e}^{-1}+6-2\mathrm{e}^{-1})=2\mathrm{e}-6$（实际计算需仔细）。 $\int_0^1 x\mathrm{e}^x\mathrm{d}x=(x-1)\mathrm{e}^x|_0^1=1$，$\displaystyle \int_0^1 x\mathrm{e}^{x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}(\mathrm{e}-1)$。 步骤5：合并得$\displaystyle \frac{1}{2}\mathrm{e}^2-\mathrm{e}+\frac{1}{2}$。 **难度**：★★★☆☆