kaoyan1basic 高等数学 第2题
📝 题目
### 【强化篇】第2题（填空题） 2．设曲线 $L$ 的方程为 $2 x=y^{2}(0 \leqslant y \leqslant 1)$ ，则 $\int_{L} y \mathrm{~d} s=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{5\sqrt{5}-1}{12}$ **解析**： 步骤1：曲线$\displaystyle L: x=\frac{y^2}{2}$，$0\leq y\leq1$，$\mathrm{d}s=\sqrt{1+(x')^2}\mathrm{d}y=\sqrt{1+y^2}\mathrm{d}y$。 步骤2：$\int_L y\mathrm{d}s=\int_0^1 y\sqrt{1+y^2}\mathrm{d}y$。 步骤3：令$u=1+y^2$，$\mathrm{d}u=2y\mathrm{d}y$，积分$\displaystyle =\frac{1}{2}\int_1^2\sqrt{u}\mathrm{d}u=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}|_1^2=\frac{1}{3}(2\sqrt{2}-1)$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将曲线方程转化为参数形式并计算弧微分
曲线 L 由方程 2x = y^2 给出，且 0 ≤ y ≤ 1。将其改写为 x = y^2/2，y 作为参数。计算弧微分 ds = √(1 + (dx/dy)^2) dy = √(1 + y^2) dy。
公式：ds = √(1 + (dx/dy)^2) dy
提示：注意曲线以 y 为参数，弧微分公式中 dx/dy 是 x 对 y 的导数。
步骤 2/3
目标：将曲线积分化为定积分
将 y 和 ds 代入积分式：∫_L y ds = ∫_{y=0}^{1} y √(1 + y^2) dy。
公式：∫_L y ds = ∫_0^1 y √(1 + y^2) dy
提示：积分限对应 y 的范围。
步骤 3/3
目标：计算定积分
令 u = 1 + y^2，则 du = 2y dy，即 y dy = du/2。当 y=0 时 u=1，y=1 时 u=2。积分变为 (1/2) ∫_1^2 √u du = (1/2) * (2/3) u^(3/2) |_1^2 = (1/3)(2√2 - 1)。
公式：∫ y √(1+y^2) dy = (1/3)(1+y^2)^(3/2) + C
提示：使用换元法，注意积分限的变换。
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