kaoyan1basic 高等数学 第3题
📝 题目
### 【基础篇】第3题（选择题） 3．设 $L$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 与平面 $x+y+z=0$ 的交线，则 $\oint_{L}(x+z) y \mathrm{~d} s=$ ． （A） $2 \pi$ （B）$-\pi$ （C）$\displaystyle -\frac{\pi}{3}$ （D）$\displaystyle -\frac{2 \pi}{3}$
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：由对称性，$L$关于坐标轮换对称，$\oint_L x\mathrm{d}s=\oint_L y\mathrm{d}s=\oint_L z\mathrm{d}s=0$（因球心在原点，平面过原点，积分对称）。 步骤2：$\oint_L (x+z)y\mathrm{d}s=\oint_L (xy+yz)\mathrm{d}s$。 步骤3：$\displaystyle \oint_L xy\mathrm{d}s=\frac{1}{3}\oint_L (xy+yz+zx)\mathrm{d}s$。 步骤4：在$L$上，$x+y+z=0$，平方得$x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)=0$，而$x^2+y^2+z^2=1$，故$\displaystyle xy+yz+zx=-\frac{1}{2}$。 步骤5：$\displaystyle \oint_L (xy+yz+zx)\mathrm{d}s=-\frac{1}{2}\oint_L \mathrm{d}s=-\frac{1}{2}\cdot2\pi=-\pi$（$L$为半径为1的圆，周长$2\pi$）。 步骤6：$\displaystyle \oint_L xy\mathrm{d}s=\frac{1}{3}(-\pi)=-\frac{\pi}{3}$，同理$\displaystyle \oint_L yz\mathrm{d}s=-\frac{\pi}{3}$，故原积分$\displaystyle =-\frac{2\pi}{3}$。 **难度**：★★★☆☆