kaoyan1basic 高等数学 第3题
📝 题目
### 【强化篇】第3题（选择题） 3．设 $L$ 为曲线 $\displaystyle \left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}$ ，取逆时针方向，$I=\oint_{L} 4 y \mathrm{~d} x+(x+y)^{2} \mathrm{~d} y, J= \oint_{L} 4 x \mathrm{~d} x+(x+y)^{2} \mathrm{~d} y, K=\oint_{L} 4 x y \mathrm{~d} x+(x+y)^{2} \mathrm{~d} y$ ，则 $I, J, K$ 的大小顺序为 $($ ． （A）$I
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：$L$为圆，参数化：$\displaystyle x=\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta$，$\displaystyle y=\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\theta$，$\theta$从$0$到$2\pi$。 步骤2：用格林公式，$I=\iint_D (2(x+y)-0)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=2\iint_D (x+y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，$D$为圆盘。 步骤3：$J=\iint_D (2(x+y)-4)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=2\iint_D (x+y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y-4\iint_D \mathrm{d}x\mathrm{d}y$，$K=\iint_D (2(x+y)-4y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=2\iint_D (x+y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y-4\iint_D y\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。 步骤4：由对称性，$\displaystyle \iint_D x\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint_D y\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{1}{2}\iint_D (x+y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，且$\displaystyle \iint_D \mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{\pi}{2}$。 步骤5：计算$\iint_D (x+y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，形心$\displaystyle (\frac{1}{2},\frac{1}{2})$，故$\displaystyle \iint_D (x+y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=1\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}$。 步骤6：$\displaystyle I=2\cdot\frac{\pi}{2}=\pi$，$\displaystyle J=\pi-4\cdot\frac{\pi}{2}=\pi-2\pi=-\pi$，$\displaystyle K=\pi-4\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}=\pi-\pi=0$，故$J