kaoyan1basic 高等数学 第4题
📝 题目
### 【基础篇】第4题（填空题） 4．锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被抛物柱面 $z^{2}=2 x$ 截下的曲面的面积为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\sqrt{2}\pi$ **解析**： 步骤1：锥面$z=\sqrt{x^2+y^2}$，$z^2=2x$得$\displaystyle x=\frac{z^2}{2}$，代入得$\displaystyle y^2=z^2-\frac{z^4}{4}$，$z$范围$0\leq z\leq2$。 步骤2：曲面面积$A=\iint_D \sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，$\displaystyle z_x=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$，$\displaystyle z_y=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$，$\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}=\sqrt{2}$。 步骤3：投影区域$D$为$x^2+y^2\leq 2x$，即$(x-1)^2+y^2\leq1$，面积$\pi$。 步骤4：$A=\sqrt{2}\cdot\pi=\sqrt{2}\pi$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定曲面方程和交线，找出曲面的投影区域
锥面方程为 z = √(x² + y²)，抛物柱面方程为 z² = 2x。联立得 x = z²/2，代入锥面得 y² = z² - z⁴/4。由于 z ≥ 0，由 y² ≥ 0 得 z² - z⁴/4 ≥ 0，解得 0 ≤ z ≤ 2。投影区域 D 为锥面在 xOy 平面上的投影，由 z² = x² + y² 和 z² = 2x 消去 z 得 x² + y² = 2x，即 (x-1)² + y² = 1，故 D 为圆盘 (x-1)² + y² ≤ 1。
公式：z = √(x² + y²), z² = 2x, (x-1)² + y² = 1
提示：注意由 z ≥ 0 和 y² ≥ 0 确定 z 的范围。
步骤 2/3
目标：计算曲面面积微元
对于曲面 z = f(x,y)，面积微元 dS = √(1 + f_x² + f_y²) dxdy。计算偏导数：f_x = x/√(x²+y²)，f_y = y/√(x²+y²)，则 1 + f_x² + f_y² = 1 + (x²+y²)/(x²+y²) = 2，所以 dS = √2 dxdy。
公式：dS = √(1 + z_x² + z_y²) dxdy, z_x = x/√(x²+y²), z_y = y/√(x²+y²), √(1+z_x²+z_y²)=√2
提示：锥面的面积微元恒为 √2 dxdy，与具体位置无关。
步骤 3/3
目标：计算曲面面积
曲面面积 A = ∬_D dS = ∬_D √2 dxdy = √2 × 区域 D 的面积。区域 D 是半径为 1 的圆盘，面积为 π，因此 A = √2 π。
公式：A = ∬_D √2 dxdy = √2 · π = √2 π
提示：投影区域 D 是圆，面积可直接用圆面积公式。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。