kaoyan1basic 高等数学 第4题
📝 题目
### 【强化篇】第4题（填空题） 4．设 $\Gamma$ 为空间圆周 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}, \\ x+y+z=a\end{array}(a>0)\right.$ ，则空间第一型曲线积分 $\oint_{\Gamma} x^{2} \mathrm{~d} s=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{2\pi a^3}{3}$ **解析**： 步骤1：由对称性，$\oint_\Gamma x^2\mathrm{d}s=\oint_\Gamma y^2\mathrm{d}s=\oint_\Gamma z^2\mathrm{d}s$，且$\oint_\Gamma (x^2+y^2+z^2)\mathrm{d}s=a^2\oint_\Gamma \mathrm{d}s$。 步骤2：$\Gamma$是平面$x+y+z=a$与球面交线，半径为$\displaystyle \sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}a$，周长$\displaystyle 2\pi\sqrt{\frac{2}{3}}a$。 步骤3：$\displaystyle \oint_\Gamma x^2\mathrm{d}s=\frac{1}{3}a^2\cdot2\pi\sqrt{\frac{2}{3}}a=\frac{2\pi a^3}{3}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用对称性简化积分
由于曲线Γ关于x, y, z对称，有∮_Γ x^2 ds = ∮_Γ y^2 ds = ∮_Γ z^2 ds。因此，∮_Γ x^2 ds = (1/3)∮_Γ (x^2+y^2+z^2) ds。
公式：∮_Γ x^2 ds = (1/3)∮_Γ (x^2+y^2+z^2) ds
提示：对称性常用于简化曲线积分，注意积分曲线和积分函数的对称性。
步骤 2/4
目标：利用球面方程化简被积函数
由球面方程x^2+y^2+z^2=a^2，代入得∮_Γ (x^2+y^2+z^2) ds = a^2 ∮_Γ ds。
公式：∮_Γ (x^2+y^2+z^2) ds = a^2 ∮_Γ ds
提示：被积函数在曲线上满足球面方程，可直接代入。
步骤 3/4
目标：计算曲线Γ的周长
曲线Γ是平面x+y+z=a与球面x^2+y^2+z^2=a^2的交线，是一个圆。球心到平面的距离d = |0+0+0-a|/√3 = a/√3，圆的半径r = √(a^2 - d^2) = √(a^2 - a^2/3) = √(2/3)a。周长L = 2πr = 2π√(2/3)a。
公式：r = √(a^2 - d^2), L = 2πr
提示：球面与平面交线为圆，半径由球心到平面的距离决定。
步骤 4/4
目标：计算原积分
∮_Γ x^2 ds = (1/3) * a^2 * L = (1/3) * a^2 * 2π√(2/3)a = (2πa^3)/3。
公式：∮_Γ x^2 ds = (1/3)a^2 * 2π√(2/3)a = 2πa^3/3
提示：注意计算时系数和幂次。
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