kaoyan1basic 高等数学 第5题
📝 题目
### 【基础篇】第5题（解答题） 5．设 $a, b$ 为实数，函数 $z=1+a x^{2}+b y^{2}$ 在点 $(1,1)$ 处的方向导数中，沿方向 $l=2 i+4 j$ 的方向导数最大，且最大值为 $2 \sqrt{5}$ 。公众号：研池大叔 免费分享最新考研资料课程 （1）求 $a, b$ ； （2）求曲面 $z=1+a x^{2}+b y^{2}$ 被曲面 $z=2\left(x^{2}+3 y^{2}\right)$ 所截部分的面积．
💡 答案解析
**答案**：（1）$a=1,b=2$；（2）$\displaystyle \frac{\pi}{3}$ **解析**： （1） 步骤1：函数$z=1+ax^2+by^2$在$(1,1)$处梯度$\nabla z=(2a,2b)$。 步骤2：方向导数最大方向为梯度方向，即$(2a,2b)$与$l=(2,4)$同向，故$\displaystyle \frac{2a}{2}=\frac{2b}{4}$，得$b=2a$。 步骤3：最大方向导数值为$|\nabla z|=\sqrt{(2a)^2+(2b)^2}=2\sqrt{5}$，代入$b=2a$得$\sqrt{4a^2+16a^2}=2\sqrt{5}$，即$\sqrt{20a^2}=2\sqrt{5}$，$2\sqrt{5}|a|=2\sqrt{5}$，$a=1$，则$b=2$。 （2） 步骤1：曲面$z=1+x^2+2y^2$与$z=2(x^2+3y^2)$交线：$1+x^2+2y^2=2x^2+6y^2$，即$x^2+4y^2=1$。 步骤2：投影区域$D: x^2+4y^2\leq1$，面积$\displaystyle =\pi\cdot1\cdot\frac{1}{2}=\frac{\pi}{2}$。 步骤3：曲面面积$A=\iint_D \sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，$z_x=2x$，$z_y=4y$，$\sqrt{1+4x^2+16y^2}$。 步骤4：令$x=r\cos\theta$，$\displaystyle y=\frac{1}{2}r\sin\theta$，$0\leq r\leq1$，$0\leq\theta\leq2\pi$，雅可比$\displaystyle \frac{1}{2}r$，$\displaystyle A=\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^1 \sqrt{1+4r^2\cos^2\theta+4r^2\sin^2\theta}\cdot\frac{1}{2}r\mathrm{d}r=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^1 r\sqrt{1+4r^2}\mathrm{d}r$。 步骤5：$\displaystyle \int_0^1 r\sqrt{1+4r^2}\mathrm{d}r=\frac{1}{12}(5\sqrt{5}-1)$，乘以$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot2\pi=\pi$，得$\displaystyle A=\frac{\pi}{12}(5\sqrt{5}-1)$。 **难度**：★★★★☆