kaoyan1basic 高等数学 第5题
📝 题目
### 【强化篇】第5题（填空题） 5．设 $\Gamma$ 是空间圆周 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} \\ x+y+z=\frac{3}{2} a\end{array}(a>0)\right.$ ，则 $\oint_{\Gamma}(2 y z+2 z x+2 x y) \mathrm{d} s=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{\pi a^3}{2}$ **解析**： 步骤1：$\Gamma$上$\displaystyle x+y+z=\frac{3}{2}a$，平方得$\displaystyle x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)=\frac{9}{4}a^2$，而$x^2+y^2+z^2=a^2$，故$\displaystyle xy+yz+zx=\frac{5}{8}a^2$。 步骤2：$\displaystyle \oint_\Gamma (2yz+2zx+2xy)\mathrm{d}s=2\oint_\Gamma (xy+yz+zx)\mathrm{d}s=2\cdot\frac{5}{8}a^2\oint_\Gamma \mathrm{d}s$。 步骤3：$\Gamma$半径$\displaystyle r=\sqrt{a^2-\frac{(\frac{3}{2}a)^2}{3}}=\sqrt{a^2-\frac{3}{4}a^2}=\frac{a}{2}$，周长$\displaystyle 2\pi\cdot\frac{a}{2}=\pi a$。 步骤4：原积分$\displaystyle =2\cdot\frac{5}{8}a^2\cdot\pi a=\frac{5\pi a^3}{4}$。 **难度**：★★★☆☆