kaoyan1basic 高等数学 第6题
📝 题目
### 【基础篇】第6题（选择题） 6．设平面曲线 $L: f(x, y)=1$ 过第一象限的点 $A$ 和第三象限的点 $B, f(x, y)$ 有一阶连续偏导数， $\Gamma$ 为 $L$ 上从点 $A$ 到点 $B$ 的一段弧，设
$$ I_{1}=\int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d} x, I_{2}=\int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d} s, I_{3}=\int_{\Gamma} f_{x}^{\prime}(x, y) \mathrm{d} x+f_{y}^{\prime}(x, y) \mathrm{d} y $$
则（ ）。 （A）$I_{1}>I_{3}>I_{2}$ （B）$I_{2}>I_{3}>I_{1}$ （C）$I_{3}>I_{1}>I_{2}$ （D）$I_{3}>I_{2}>I_{1}$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：$L$上$f(x,y)=1$，故$I_1=\int_\Gamma 1\cdot\mathrm{d}x$，$I_2=\int_\Gamma 1\cdot\mathrm{d}s$，$I_3=\int_\Gamma f_x'\mathrm{d}x+f_y'\mathrm{d}y=\int_\Gamma \mathrm{d}f=0$（因起点终点$f=1$）。 步骤2：$I_2$为弧长，大于$0$；$I_1$为$x$的增量，从第一象限到第三象限，$x$减小，故$I_1<0$；$I_3=0$。 步骤3：大小顺序$I_2>0>I_3>I_1$，即$I_2>I_3>I_1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：化简各积分表达式
由于在曲线L上f(x,y)=1，所以I1=∫_Γ 1·dx，I2=∫_Γ 1·ds，I3=∫_Γ f_x' dx + f_y' dy = ∫_Γ df = f(B)-f(A)=1-1=0。
公式：f(x,y)=1 on L; I3=∫_Γ df = f(end)-f(start)
提示：注意f(x,y)在L上恒为1，因此I3是恰当微分积分，与路径无关，仅与端点值有关。
步骤 2/2
目标：判断各积分的符号和大小
I2是弧长，大于0；I1是x的增量，从第一象限到第三象限，x减小，故I1<0；I3=0。因此I2>0>I3>I1，即I2>I3>I1。
公式：弧长>0; x增量符号由起点终点x坐标决定
提示：第一象限x>0，第三象限x<0，所以从A到B，x减小，积分负。
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