kaoyan1basic 高等数学 第6题
📝 题目
### 【强化篇】第6题（填空题） 6．设 $\Gamma$ 是球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 与平面 $x=y$ 的交线，则 $\oint_{\Gamma}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} s=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\pi$ **解析**： 步骤1：$\Gamma$为球面与平面$x=y$交线，代入得$2x^2+z^2=1$，参数化：$\displaystyle x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta$，$z=\sin\theta$，$0\leq\theta\leq2\pi$。 步骤2：$\displaystyle \mathrm{d}s=\sqrt{(x')^2+(y')^2+(z')^2}\mathrm{d}\theta=\sqrt{(-\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\theta)^2+(-\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\theta)^2+(\cos\theta)^2}\mathrm{d}\theta=\sqrt{\sin^2\theta+\cos^2\theta}\mathrm{d}\theta=\mathrm{d}\theta$。 步骤3：$x^2+y^2=2x^2=\cos^2\theta$，原积分$=\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\mathrm{d}\theta=\pi$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定曲线Γ的参数方程
将平面x=y代入球面方程得2x^2+z^2=1，令x=y=1/√2 cosθ，z=sinθ，θ∈[0,2π]
公式：2x^2+z^2=1
提示：注意参数化时保证曲线覆盖整个交线
步骤 2/4
目标：计算弧长微分ds
求导得x'=y'=-1/√2 sinθ，z'=cosθ，则ds=√[(x')^2+(y')^2+(z')^2]dθ=√(sin^2θ+cos^2θ)dθ=dθ
公式：ds=√(x'^2+y'^2+z'^2)dθ
提示：化简后根号内为1，简化计算
步骤 3/4
目标：计算被积函数x^2+y^2
由x=y=1/√2 cosθ得x^2+y^2=2x^2=cos^2θ
公式：x^2+y^2=cos^2θ
步骤 4/4
目标：计算曲线积分
原积分=∫_0^{2π} cos^2θ dθ=π
公式：∫_0^{2π} cos^2θ dθ=π
提示：利用cos^2θ的周期性和对称性，或直接积分得π
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