kaoyan1basic 高等数学 第7题
📝 题目
### 【基础篇】第7题（选择题） 7．使得 $\oint_{L}\left(2 y^{3}-3 y\right) \mathrm{d} x-x^{3} \mathrm{~d} y$ 的值最大的平面正向边界曲线 $L$ 为 ． （A） $3 x^{2}+y^{2}=1$ （B） $2 x^{2}+y^{2}=1$ （C）$x^{2}+3 y^{2}=1$ （D）$x^{2}+2 y^{2}=1$
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：由格林公式，$\oint_L (2y^3-3y)\mathrm{d}x-x^3\mathrm{d}y=\iint_D (-3x^2-(6y^2-3))\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint_D (3-3x^2-6y^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。 步骤2：要使积分最大，需$D$包含使被积函数$3-3x^2-6y^2$为正的区域，即$3x^2+6y^2\leq3$，即$x^2+2y^2\leq1$。 步骤3：选项D为$x^2+2y^2=1$，恰好是该椭圆边界，内部区域使被积函数非负，积分最大。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：应用格林公式将曲线积分转化为二重积分
设P(x,y)=2y^3-3y，Q(x,y)=-x^3，则∂Q/∂x=-3x^2，∂P/∂y=6y^2-3。由格林公式，∮_L Pdx+Qdy = ∬_D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dxdy = ∬_D (-3x^2 - (6y^2-3)) dxdy = ∬_D (3-3x^2-6y^2) dxdy。
公式：格林公式：∮_L Pdx+Qdy = ∬_D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dxdy
提示：注意格林公式中∂Q/∂x - ∂P/∂y，不要弄反符号。
步骤 2/3
目标：确定被积函数非负的区域以使积分最大
要使积分值最大，应选取区域D使得被积函数3-3x^2-6y^2 ≥ 0，即3x^2+6y^2 ≤ 3，化简得x^2+2y^2 ≤ 1。该区域为椭圆内部，边界为x^2+2y^2=1。
公式：不等式：x^2+2y^2 ≤ 1
提示：被积函数为正的区域积分贡献为正，应尽可能包含该区域。
步骤 3/3
目标：匹配选项中的边界曲线
选项D为x^2+2y^2=1，恰好是使被积函数非负的椭圆边界，因此该边界曲线L使得积分值最大。
提示：注意选项中的椭圆方程与不等式对应。
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