kaoyan1basic 高等数学 第8题
📝 题目
### 【强化篇】第8题（填空题） 8．设 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}, \partial D$ 为 $D$ 的正向边界，则 $\displaystyle \oint_{\partial D} \frac{\left(x \mathrm{e}^{x^{2}+4 y^{2}}+y\right) \mathrm{d} x+\left(4 y \mathrm{e}^{x^{2}+4 y^{2}}-x\right) \mathrm{d} y}{x^{2}+4 y^{2}}=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$8\pi$ **解析**： 步骤1：令$\displaystyle P=\frac{x e^{x^2+4y^2}+y}{x^2+4y^2}$，$\displaystyle Q=\frac{4y e^{x^2+4y^2}-x}{x^2+4y^2}$，计算$\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}$。 步骤2：由于分母$x^2+4y^2$在原点为零，考虑小椭圆$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=\varepsilon^2$，利用Green公式及对称性，原积分等于$2\pi \times 4 = 8\pi$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
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