kaoyan1basic 高等数学 第9题

教材习题

📝 题目

### 【基础篇】第9题（解答题） 9．设 $D \subset \mathbf{R}^{2}$ 是有界单连通闭区域，$I(D)=\iint_{D}\left(1-x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 取得最大值的积分域记为 $D_{1}$ ． （1）求 $I\left(D_{1}\right)$ 的值； （2）计算 $\displaystyle \oint_{\partial D_{1}} \frac{\left(x \mathrm{e}^{x^{2}+2 y^{2}}+y\right) \mathrm{d} x+\left(2 y \mathrm{e}^{x^{2}+2 y^{2}}-x\right) \mathrm{d} y}{x^{2}+2 y^{2}}$ ，其中 $\partial D_{1}$ 是 $D_{1}$ 的正向边界．

💡 答案解析

**答案**：（1）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$；（2）$\pi$ **解析**： （1）$I(D)=\iint_D (1-x^2-y^2)dxdy$，当$D$为圆盘$x^2+y^2\leq 1$时取最大值，$\displaystyle I(D_1)=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1 (1-r^2)r dr = \frac{\pi}{2}$。 （2）令$\displaystyle P=\frac{x e^{x^2+2y^2}+y}{x^2+2y^2}$，$\displaystyle Q=\frac{2y e^{x^2+2y^2}-x}{x^2+2y^2}$，利用Green公式，考虑小椭圆$x^2+2y^2=\varepsilon^2$，计算得积分值为$\pi$。 **难度**：★★★★☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：确定使积分最大的区域D1
被积函数1-x^2-y^2在圆盘x^2+y^2≤1内非负，在外部为负。为使二重积分最大，应取被积函数非负的区域，即D1为圆盘x^2+y^2≤1。
提示：注意被积函数符号与区域的关系。
步骤 2/3
目标：计算I(D1)的值
使用极坐标变换：x=r cosθ, y=r sinθ，则积分区域为0≤θ≤2π, 0≤r≤1。I(D1)=∫_{0}^{2π} dθ ∫_{0}^{1} (1-r^2) r dr = 2π * [r^2/2 - r^4/4]_0^1 = 2π*(1/2-1/4)=π/2。
公式：I(D1)=∫_0^{2π} dθ ∫_0^1 (1-r^2) r dr = π/2
提示：极坐标下面积元为r dr dθ。
步骤 3/3
目标：计算第二问的曲线积分
令P=(x e^{x^2+2y^2}+y)/(x^2+2y^2)，Q=(2y e^{x^2+2y^2}-x)/(x^2+2y^2)。由于分母在原点为零，不能直接应用Green公式。考虑小椭圆x^2+2y^2=ε^2，取正向（逆时针），记其边界为C_ε。在D1内挖去小椭圆，应用Green公式得积分与ε无关。计算C_ε上的积分：令x=ε cosθ, y=(ε/√2) sinθ，则x^2+2y^2=ε^2，dx=-ε sinθ dθ, dy=(ε/√2) cosθ dθ。代入化简得积分=∫_0^{2π} (1/2) dθ = π。因此原积分=π。
公式：∮_{∂D1} (P dx+Q dy) = π
提示：注意挖洞技巧，小椭圆参数化时坐标变换。

📷 拍照上传批改

拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。
← 第8题 返回列表 第9题 →