kaoyan1basic 高等数学 第9题
📝 题目
### 【强化篇】第9题（解答题） 9．设函数 $f(x), g(x)$ 二阶导数连续，$f(0)=0, g(0)=0$ ，且对于平面上任一简单闭曲线 $L$ ，均有
$$ $\oint_{L}\left[y^{2} f(x)+2 y \mathrm{e}^{x}+2 y g(x)\right] \mathrm{d} x+2[y g(x)+f(x)] \mathrm{d} y=0 .$ $$
（1）求 $f(x), g(x)$ 的表达式； （2）设 $L_{1}$ 为任一条从点 $(0,0)$ 到点 $(1,1)$ 的曲线，计算
$$ $\int_{L_{1}}\left[y^{2} f(x)+2 y \mathrm{e}^{\mathrm{r}}+2 y g(x)\right] \mathrm{d} x+2[y g(x)+f(x)] \mathrm{d} y .$ $$
💡 答案解析
**答案**：（1）$f(x)=e^x-1$，$g(x)=e^x-1$；（2）$2e-2$ **解析**： （1）由曲线积分与路径无关，得$\displaystyle \frac{\partial}{\partial y}[y^2 f+2ye^x+2yg] = \frac{\partial}{\partial x}[2yg+2f]$，即$2yf+2e^x+2g = 2yg'+2f'$。比较系数得$f'=e^x$，$g'=f$，结合$f(0)=g(0)=0$，解得$f(x)=e^x-1$，$g(x)=e^x-1$。 （2）取路径从$(0,0)$沿$x$轴到$(1,0)$再到$(1,1)$，代入积分得$2e-2$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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