kaoyan1basic 高等数学 第609题

**答案**：$-2\pi$ **解析**： 步骤1：曲线$\Gamma$为圆柱$x^2+y^2=1$与平面$x-y+z=2$的交线，方向从$z$轴正向看为顺时针。用斯托克斯公式，$I=\iint_{\Sigma} \nabla\times\vec{F}\cdot d\vec{S}$，其中$\vec{F}=(z-y, x-z, x-y)$。 步骤2：旋度$\displaystyle \nabla\times\vec{F}=(\frac{\partial}{\partial y}(x-y)-\frac{\partial}{\partial z}(x-z), \frac{\partial}{\partial z}(z-y)-\frac{\partial}{\partial x}(x-y), \frac{\partial}{\partial x}(x-z)-\frac{\partial}{\partial y}(z-y))=((-1)-(-1), (1)-(1), (1)-(-1))=(0,0,2)$。取$\Sigma$为平面$x-y+z=2$上被圆柱截得的圆盘，方向与曲线方向符合右手法则，曲线顺时针，故法向量向下。平面法向量为$(1,-1,1)$，单位化，向下取负，但斯托克斯公式中$d\vec{S}=\vec{n}dS$，需与曲线方向匹配。曲线顺时针，从$z$轴正向看，故曲面法向量应指向$z$轴负向，即向下。平面法向量$(1,-1,1)$，向下即与$z$轴夹角大于90°，取$\displaystyle \vec{n}=(-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}})$。旋度点乘法向量得$\displaystyle 2\cdot(-\frac{1}{\sqrt{3}})=-\frac{2}{\sqrt{3}}$。面积$dS$为圆盘面积，半径为1，面积为$\pi$，但需投影到$xy$平面？平面与$xy$面夹角余弦为$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$，圆盘在$xy$投影为椭圆？不，直接计算：$\iint_{\Sigma} (0,0,2)\cdot\vec{n}dS=2\iint_{\Sigma} n_z dS$，$\displaystyle n_z=-\frac{1}{\sqrt{3}}$，$dS=\sqrt{3}dxdy$（因为$z=2-x+y$，$dS=\sqrt{1+(-1)^2+1^2}dxdy=\sqrt{3}dxdy$），积分区域为$x^2+y^2\leq1$，故$\displaystyle I=2\iint_{x^2+y^2\leq1} (-\frac{1}{\sqrt{3}})\cdot\sqrt{3}dxdy=-2\iint dxdy=-2\pi$。 **难度**：★★★☆☆