kaoyan1basic 高等数学 第610题
📝 题目
### 第610题 设 $\Omega$ 是由锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与半球面 $z=\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}$ 围成的空间区域，$\Sigma$ 是 $\Omega$的整个边界的外侧，则 $\oiint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle 2\pi R^3(1-\frac{\sqrt{2}}{2})$ **解析**： 步骤1：由高斯公式，$\oiint_{\Sigma} x dy dz + y dz dx + z dx dy = \iiint_{\Omega} (1+1+1)dv = 3\iiint_{\Omega} dv$，即3倍区域体积。 步骤2：区域$\Omega$由锥面$z=\sqrt{x^2+y^2}$与半球面$z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}$围成，体积用球坐标：$\displaystyle 0\leq\phi\leq\frac{\pi}{4}$，$0\leq\theta\leq2\pi$，$0\leq r\leq R$，体积$\displaystyle V=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\frac{\pi}{4}}d\phi\int_0^R r^2\sin\phi dr=2\pi\cdot\frac{R^3}{3}\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sin\phi d\phi=2\pi\cdot\frac{R^3}{3}(1-\cos\frac{\pi}{4})=\frac{2\pi R^3}{3}(1-\frac{\sqrt{2}}{2})$。故原积分$\displaystyle =3V=2\pi R^3(1-\frac{\sqrt{2}}{2})$。 **难度**：★★☆☆☆