kaoyan1basic 高等数学 第10题
📝 题目
### 【强化篇】第10题（解答题） 10．设 $P(x, y, z)$ 为球面 $\Sigma: x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 z=0$ 上的动点，球面 $\Sigma$ 在点 $P(x, y, z)$ 处的法线与平面 $x+z=0$ 平行． （1）求点 $P$ 的轨迹 $\Gamma$ 的方程； （2）计算曲线积分 $\oint_{\Gamma} y^{2} \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} y+x^{2} \mathrm{~d} z$ ，从 $z$ 轴正向看下去，$\Gamma$ 取逆时针方向。
💡 答案解析
**答案**：（1）$\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2-2z=0\\ x+z=0\end{array}\right.$；（2）$4\pi$ **解析**： （1）球面法向量平行于平面法向量$(1,0,1)$，即$(x,y,z-1)\parallel(1,0,1)$，得$x=z-1$，$y=0$，代入球面得轨迹$\Gamma$为圆$\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2-2z=0\\ x+z=0\end{array}\right.$。 （2）利用Stokes公式，$I=\iint_S ( -2z, -2x, -2y )\cdot \vec{n} dS$，$S$为$\Gamma$所围圆盘，法向量为$(1,0,1)/\sqrt{2}$，计算得$4\pi$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。