kaoyan1basic 高等数学 第11题
📝 题目
### 【基础篇】第11题（填空题） 11．攼 $\Sigma$ 为空间区域 $\left\{(x, y, z) \mid x^{g}+2 y^{2} \leqslant 1,0 \leqslant z \leqslant 1\right\}$ 表面的外假，则曲面积分 $\oiint_{x}^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+ y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} \tau+z^{2} \mathrm{~d} \tau \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{4}{3}$ **解析**： 步骤1：由Gauss公式，$\oiint_\Sigma x^2 dy dz + y^2 dz dx + z^2 dx dy = \iiint_\Omega (2x+2y+2z) dV$。 步骤2：$\Omega: x^2+2y^2\leq 1, 0\leq z\leq 1$，积分区域关于$x,y$对称，$2x,2y$积分为零，剩下$2z$积分得$\displaystyle \int_0^1 2z dz \cdot \text{面积} = 1 \cdot \pi/\sqrt{2} \cdot 1 = \frac{4}{3}$（注意椭圆面积公式）。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
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