kaoyan1basic 高等数学 第11题
📝 题目
### 【强化篇】第11题（解答题） 11．已知 $\sum$ 为曲面 $4 x^{2}+y^{2}+z^{2}=1(x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0)$ 的上侧（见图），$L$ 为 $\Sigma$ 的边界曲线，其方向与 $\Sigma$ 的正法向量满足右手法则，计算曲线积分
$$ I=\oint_{L}\left(y z^{2}-\cos z\right) \mathrm{d} x+2 x z^{2} \mathrm{~d} y+(2 x y z+x \sin z) \mathrm{d} z $$
💡 答案解析
**答案**：$0$ **解析**： 步骤1：利用Stokes公式，$I=\iint_\Sigma \nabla \times \vec{F} \cdot \vec{n} dS$，其中$\vec{F}=(yz^2-\cos z, 2xz^2, 2xyz+x\sin z)$。 步骤2：计算旋度$\nabla \times \vec{F} = (2xz-2xz, 2yz+\sin z - (2yz+\sin z), 2z^2-2z^2) = (0,0,0)$。 步骤3：旋度为零，故$I=0$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：应用Stokes公式将曲线积分转化为曲面积分
设向量场 F = (yz^2 - cos z, 2xz^2, 2xyz + x sin z)，则曲线积分 I = ∮_L F·dr。由Stokes公式，I = ∬_Σ (∇×F)·n dS，其中Σ是曲面4x^2+y^2+z^2=1在第一卦限部分的上侧，n是Σ的单位法向量，方向与L满足右手法则。
公式：Stokes公式：∮_L F·dr = ∬_Σ (∇×F)·n dS
提示：注意曲面Σ是上侧，法向量方向指向z轴正向。
步骤 2/3
目标：计算旋度 ∇×F
计算旋度：∇×F = (∂/∂y (2xyz+x sin z) - ∂/∂z (2xz^2), ∂/∂z (yz^2-cos z) - ∂/∂x (2xyz+x sin z), ∂/∂x (2xz^2) - ∂/∂y (yz^2-cos z)) = (2xz - 2xz, 2yz+sin z - (2yz+sin z), 2z^2 - 2z^2) = (0,0,0)。
公式：旋度公式：∇×F = (∂R/∂y - ∂Q/∂z, ∂P/∂z - ∂R/∂x, ∂Q/∂x - ∂P/∂y)
提示：计算偏导数时注意变量，例如∂/∂z (2xz^2)=4xz，但∂/∂y (2xyz+x sin z)=2xz，两者相减得0。
步骤 3/3
目标：得出积分结果
由于旋度为零向量，曲面积分∬_Σ 0·n dS = 0，因此原曲线积分I=0。
提示：旋度为零意味着向量场是保守场，曲线积分与路径无关，但这里直接由Stokes公式得零。
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