kaoyan1basic 高等数学 第13题
📝 题目
### 【基础篇】第13题（填空题） 13．设 $\Sigma$ 为平面 $x-y+z=1$ 介于三坐标平面间的有限部分，法向量与 $z$ 轴正向夹角为锐角， $f(x)$ 阵续，则 $\int_{\Sigma}\left[\int_{\Sigma}(x z)+x\right] \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+[2 f(x z)+y] \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+[f(x z)+z] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}$ **解析**： 步骤1：平面$x-y+z=1$，法向量$(1,-1,1)$，与$z$轴正向夹角锐角，取上侧。 步骤2：利用Gauss公式，补三个坐标平面上的三角形，但注意被积函数含$f(xz)$，由对称性及积分区域特点，最终结果为$\displaystyle \frac{1}{2}$。 **难度**：★★★★☆
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