kaoyan1basic 高等数学 第14题
📝 题目
### 【基础篇】第14题（解答题） 14．计算曲线积分 $I=\oint_{\Gamma} y z \mathrm{~d} x-z x \mathrm{~d} y+3 x y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Gamma$ 为曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}-2 y=0, \\ 2 y-z+1=0,\end{array}\right.$ 从 $z$ 轴正向往下看、 $\Gamma$ 为遡时针方向。
💡 答案解析
**答案**：$-\pi$ **解析**： 步骤1：曲线$\Gamma$为圆柱$x^2+(y-1)^2=1$与平面$2y-z+1=0$的交线，方向为顺时针。 步骤2：利用Stokes公式，$I=\iint_S \nabla \times \vec{F} \cdot \vec{n} dS$，其中$\vec{F}=(yz, -zx, 3xy)$，旋度$(3x+x, y-3y, -z-z)=(4x, -2y, -2z)$。 步骤3：$S$为$\Gamma$所围平面区域，法向量$(0,2,-1)/\sqrt{5}$，计算得$-\pi$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
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