kaoyan1basic 高等数学 第15题
📝 题目
### 【基础篇】第15题（解答题） 15．设曲面 $\Sigma$ 是由直线段
$$ L:\left\{\begin{array}{l} x=\frac{\sqrt{2}}{2} t-\frac{\sqrt{2}}{2} \\ y=\frac{\sqrt{2}}{2} t+\frac{\sqrt{2}}{2},(t \in[0,1]) \\ z=t $\end{array}\right.$ $$
挄 $z$ 轴旋转而得。 $\Omega$ 是 $\Sigma$ 与平面 $z=0, z=1$ 所围成的立体，其体密度为 $\displaystyle \mu(x, y, z)=\frac{z}{1+x^{2}+y^{2}}$ ，求： （1）曲面 $\Sigma$ 的直角坐标方程； （2）$\Omega$ 的质量．
💡 答案解析
**答案**：（1）$\displaystyle x^2+y^2 = \frac{1}{2}(z^2+1)$；（2）$\displaystyle \frac{\pi}{2}\ln 2$ **解析**： （1）直线段$L$绕$z$轴旋转，$L$上点$(x,y,z)$满足$\displaystyle x^2+y^2 = \frac{1}{2}(t^2+1)$，$z=t$，消去$t$得$\displaystyle x^2+y^2 = \frac{1}{2}(z^2+1)$。 （2）质量$\displaystyle M=\iiint_\Omega \frac{z}{1+x^2+y^2} dV$，用柱坐标，$\displaystyle r^2=\frac{1}{2}(z^2+1)$，积分得$\displaystyle \frac{\pi}{2}\ln 2$。 **难度**：★★★★☆