kaoyan1basic 高等数学 第19题
📝 题目
### 【强化篇】第19题（填空题） 19．设 $f(x)$ 有连续导数，且 $f(0)=0$ ，若对于平面内的任意简单封闭曲线 $L$ ，均有曲线积分 $\oint_{L}\left[f(x)-\mathrm{e}^{x}\right] y^{2} \mathrm{~d} x-2 y f(x) \mathrm{d} y=0$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$f(x)=e^x-1$ **解析**： 步骤1：由曲线积分与路径无关，得$\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$，其中$P=[f(x)-e^x]y^2$，$Q=-2y f(x)$。 计算：$\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=-2y f'(x)$，$\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=2y[f(x)-e^x]$。 步骤2：令$-2y f'(x)=2y[f(x)-e^x]$，即$f'(x)+f(x)=e^x$。 步骤3：解一阶线性微分方程：$\displaystyle f(x)=e^{-\int dx}\left(\int e^x e^{\int dx}dx+C\right)=e^{-x}\left(\int e^{2x}dx+C\right)=e^{-x}\left(\frac{1}{2}e^{2x}+C\right)=\frac{1}{2}e^x+Ce^{-x}$。 由$f(0)=0$得$\displaystyle \frac{1}{2}+C=0$，$\displaystyle C=-\frac{1}{2}$，故$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})$。但常见答案为$e^x-1$，需检查：若方程正确，则$f'(x)+f(x)=e^x$，解为$\displaystyle f(x)=e^{-x}(\int e^{2x}dx+C)=\frac{1}{2}e^x+Ce^{-x}$，代入$f(0)=0$得$\displaystyle C=-\frac{1}{2}$，故$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})$。 重新审题：原式$\oint_L [f(x)-e^x]y^2 dx -2y f(x) dy=0$，则$\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(-2y f(x)) = -2y f'(x)$，$\displaystyle \frac{\partial}{\partial y}([f(x)-e^x]y^2)=2y[f(x)-e^x]$，得$f'(x)=e^x-f(x)$，即$f'(x)+f(x)=e^x$，解同上。但若答案为$e^x-1$，则$f'(x)=e^x$，$f(x)=e^x-1$，代入得$-2y e^x = 2y(e^x-1-e^x)=-2y$，不相等。故正确答案应为$\displaystyle \frac{1}{2}(e^x-e^{-x})$。 **难度**：★★★☆☆