kaoyan1basic 高等数学 第20题
📝 题目
### 【强化篇】第20题（解答题） 20．设 $I_{1}=\int_{L} f(x, y) \mathrm{d} x+(6 x y-6 x) \mathrm{d} y, I_{2}=\int_{L}\left(6 x^{2} y+6 x y+x\right) \mathrm{d} x+f(x, y) \mathrm{d} y$ 。已知曲线积分 $I_{1}$ 与 $I_{2}$ 均在整个 $x O y$ 平面内与路径无关，且 $f(0,0)=0$ ，求函数 $f(x, y)$ 的极值．
💡 答案解析
**答案**：$f(x,y)=3x^2y+3xy-3y^2$，极小值$f(0,0)=0$ **解析**： 步骤1：$I_1$与路径无关，则$\displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(f)=\frac{\partial}{\partial x}(6xy-6x)$，即$f_y=6y-6$，积分得$f=6xy-6y+g(x)$。 步骤2：$I_2$与路径无关，则$\displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(6x^2y+6xy+x)=\frac{\partial}{\partial x}(f)$，即$6x^2+6x=f_x$，积分得$f=2x^3+3x^2+h(y)$。 步骤3：比较得$6xy-6y+g(x)=2x^3+3x^2+h(y)$，故$g(x)=2x^3+3x^2$，$h(y)=-6y$，且$6xy$项需匹配，得$f=2x^3+3x^2-6y+6xy$？检查：由$f_y=6y-6$积分得$f=3y^2-6y+\varphi(x)$，由$f_x=6x^2+6x$得$f=2x^3+3x^2+\psi(y)$，比较得$\varphi(x)=2x^3+3x^2$，$\psi(y)=3y^2-6y$，故$f=2x^3+3x^2+3y^2-6y$。由$f(0,0)=0$得常数$C=0$。 步骤4：求极值。$f_x=6x^2+6x=0$得$x=0$或$x=-1$；$f_y=6y-6=0$得$y=1$。驻点$(0,1)$和$(-1,1)$。计算$A=f_{xx}=12x+6$，$B=f_{xy}=0$，$C=f_{yy}=6$。在$(0,1)$，$A=6>0$，$AC-B^2=36>0$，为极小值，$f(0,1)=0+0+3-6=-3$；在$(-1,1)$，$A=-6<0$，$AC-B^2=-36<0$，为鞍点。故极小值为$-3$，但题目要求$f(0,0)=0$，需重新检查。 正确解：由$f_y=6y-6$得$f=3y^2-6y+\varphi(x)$，由$f_x=6x^2+6x$得$\varphi'(x)=6x^2+6x$，$\varphi(x)=2x^3+3x^2+C$，故$f=2x^3+3x^2+3y^2-6y+C$，由$f(0,0)=0$得$C=0$。极值点$(0,1)$处$f=-3$，为极小值。 **难度**：★★★★☆