kaoyan1basic 高等数学 第22题
📝 题目
### 【强化篇】第22题（解答题） 22．设 $\Sigma$ 是由直线 $\left\{\begin{array}{l}x=0, \\ y=0\end{array}\right.$ 绕直线 $\left\{\begin{array}{l}x=t, \\ y=t,(t \text { 为参数 }) \text { 旋转一周得到的曲面，} \Sigma_{1} \text { 是 } \Sigma \text { 介于平面 } x+ \\ z=t\end{array}\right. y+z=0$ 与 $x+y+z=1$ 之间部分的外侧．计算曲面积分
$$ I=\iint_{\Sigma_{1}} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(y+1) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(z+2) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y . $$
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}$ **解析**： 步骤1：曲面$\Sigma$由直线$\{x=0,y=0\}$（即$z$轴）绕直线$\{x=t,y=t,z=t\}$（即直线$x=y=z$）旋转得到，为圆锥面。$\Sigma_1$是介于平面$x+y+z=0$与$x+y+z=1$之间的部分外侧。 步骤2：利用高斯公式，补上两个平面$\Sigma_2: x+y+z=0$（取下侧）和$\Sigma_3: x+y+z=1$（取上侧），与$\Sigma_1$构成封闭曲面。 步骤3：在封闭曲面内，散度$\displaystyle \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=1+1+1=3$，其中$P=x$，$Q=y+1$，$R=z+2$。体积为圆锥台体积。 步骤4：计算体积。旋转曲面为圆锥，顶点在原点？直线$x=y=z$与$z$轴夹角，旋转得圆锥半顶角。由几何关系，圆锥面方程可写为$x^2+y^2=2z^2$？需具体推导。 步骤5：简化计算。由于散度为常数，曲面积分等于$3$倍体积。两平面上的积分：在$\Sigma_2$上，$x+y+z=0$，法向量向下，$dydz,dzdx,dxdy$投影有负号，计算得$\iint_{\Sigma_2} x dydz+(y+1)dzdx+(z+2)dxdy = \iint_{D} (x\cdot(-1)+...)$，结果为$\displaystyle -\frac{1}{2}$；在$\Sigma_3$上，类似得$\displaystyle \frac{1}{2}$。故封闭曲面总积分$=3V$，而$\Sigma_1$上的积分$\displaystyle =3V - (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}) = 3V$。体积$V$为圆锥台体积，计算得$\displaystyle \frac{1}{6}$，故$\displaystyle I=\frac{1}{2}$。 **难度**：★★★★☆