kaoyan1basic 高等数学 第23题

**答案**：（1）$\displaystyle L: \frac{x}{x_1}=\frac{y-1}{y_1-1}=\frac{z-1}{-1}$，$\Sigma: (x^2+y^2)(z-1)^2 = (x^2+y^2-2x-2y+2)z^2$；（2）形心$\displaystyle (0,0,\frac{1}{4})$ **解析**： 步骤1：顶点$A(0,1,1)$，准线上点$M_1(x_1,y_1,0)$满足$x_1^2+y_1^2=1$。直线$L$方向向量$\overrightarrow{AM_1}=(x_1, y_1-1, -1)$，故$L$方程$\displaystyle \frac{x}{x_1}=\frac{y-1}{y_1-1}=\frac{z-1}{-1}$。 步骤2：消去参数得锥面方程。由$\displaystyle \frac{x}{x_1}=\frac{z-1}{-1}$得$\displaystyle x_1=-\frac{x}{z-1}$，由$\displaystyle \frac{y-1}{y_1-1}=\frac{z-1}{-1}$得$\displaystyle y_1-1=-\frac{y-1}{z-1}$，代入$x_1^2+y_1^2=1$得$\displaystyle \frac{x^2}{(z-1)^2} + \left(1-\frac{y-1}{z-1}\right)^2 =1$，化简得$(x^2+y^2)(z-1)^2 = (x^2+y^2-2x-2y+2)z^2$。 步骤3：形心坐标$\displaystyle \bar{x}=\frac{\iiint_\Omega x dV}{V}$，由对称性$\bar{x}=\bar{y}=0$。体积$\displaystyle V=\frac{1}{3}\pi r^2 h$，底面半径$r=1$，高$h=1$，故$\displaystyle V=\frac{\pi}{3}$。 步骤4：$\displaystyle \bar{z}=\frac{\iiint_\Omega z dV}{V}$。用柱坐标，$\Omega: 0\leq\theta\leq2\pi, 0\leq r\leq1, 0\leq z\leq 1-r$（锥面方程$z=1-\sqrt{x^2+y^2}$？实际顶点$(0,1,1)$，准线$z=0$，锥面方程应为$z=1-\sqrt{x^2+y^2}$？检查：当$z=0$时，$x^2+y^2=1$，正确；顶点$(0,0,1)$？但顶点为$(0,1,1)$，故方程不同。需重新推导。 由顶点$(0,1,1)$和准线$x^2+y^2=1, z=0$，锥面方程可写为$(x^2+(y-1)^2)(z-1)^2 = (x^2+y^2-2y+1)z^2$？简化得$z=1-\sqrt{x^2+(y-1)^2}$？代入$(0,1)$得$z=1$，正确。故$\Omega$为$0\leq z\leq 1$，$x^2+(y-1)^2\leq (1-z)^2$。 步骤5：计算$\displaystyle \iiint_\Omega z dV = \int_0^1 z \cdot \pi (1-z)^2 dz = \pi \int_0^1 z(1-2z+z^2)dz = \pi \left(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{1}{4}\right)=\pi\cdot\frac{1}{12}$，故$\displaystyle \bar{z}=\frac{\pi/12}{\pi/3}=\frac{1}{4}$。 **难度**：★★★★☆