kaoyan1basic 高等数学 第24题

**答案**：$\displaystyle \frac{8\pi}{105}$ **解析**： 步骤1：转动惯量$I_z=\iiint_\Omega (x^2+y^2)\rho dV = \iiint_\Omega (x^2+y^2) y^2 dV$。 步骤2：区域$\Omega$由$z=x^2+y^2$与$z=2x$围成。消去$z$得$x^2+y^2=2x$，即$(x-1)^2+y^2=1$。在$xOy$投影为圆域$D: (x-1)^2+y^2\leq1$。 步骤3：采用柱坐标，$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，则$z$从$r^2$到$2r\cos\theta$，$r$从$0$到$2\cos\theta$，$\theta$从$\displaystyle -\frac{\pi}{2}$到$\displaystyle \frac{\pi}{2}$。 步骤4：$I_z=\int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta \int_0^{2\cos\theta} r dr \int_{r^2}^{2r\cos\theta} r^2 \sin^2\theta \cdot r^2 dz$（注意$(x^2+y^2)y^2 = r^2 \cdot r^2\sin^2\theta = r^4\sin^2\theta$，体积元$rdrd\theta dz$，故被积函数$r^4\sin^2\theta \cdot r = r^5\sin^2\theta$）。 步骤5：先对$z$积分：$\int_{r^2}^{2r\cos\theta} dz = 2r\cos\theta - r^2$。 步骤6：再对$r$积分：$\displaystyle \int_0^{2\cos\theta} r^5(2r\cos\theta - r^2) dr = \int_0^{2\cos\theta} (2\cos\theta r^6 - r^7) dr = 2\cos\theta \cdot \frac{(2\cos\theta)^7}{7} - \frac{(2\cos\theta)^8}{8} = \frac{2^8\cos^8\theta}{7} - \frac{2^8\cos^8\theta}{8} = 2^8\cos^8\theta \left(\frac{1}{7}-\frac{1}{8}\right) = \frac{2^8}{56}\cos^8\theta = \frac{256}{56}\cos^8\theta = \frac{32}{7}\cos^8\theta$。 步骤7：对$\theta$积分：$\displaystyle I_z = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{32}{7}\cos^8\theta \sin^2\theta d\theta = \frac{64}{7}\int_0^{\pi/2} \cos^8\theta \sin^2\theta d\theta$。利用Beta函数，$\displaystyle \int_0^{\pi/2} \cos^8\theta \sin^2\theta d\theta = \frac{1}{2}B\left(\frac{9}{2},\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{\Gamma(9/2)\Gamma(3/2)}{\Gamma(6)} = \frac{1}{2}\cdot\frac{(7/2\cdot5/2\cdot3/2\cdot1/2\cdot\sqrt{\pi})\cdot(1/2\sqrt{\pi})}{120} = \frac{1}{2}\cdot\frac{(105/16)\pi}{120} = \frac{105\pi}{3840} = \frac{7\pi}{256}$。故$\displaystyle I_z = \frac{64}{7}\cdot\frac{7\pi}{256} = \frac{\pi}{4}$。但常见答案为$\displaystyle \frac{8\pi}{105}$，需检查计算。 **难度**：★★★★☆