kaoyan1basic 高等数学 第28题

好的，我们先来仔细分析题目，然后一步步推导出答案。题目中给的是一个半球面，并涉及外法线方向与坐标轴的夹角，最后要计算一个曲面积分。我们先明确已知条件。

**第一步：理解曲面与方向** 曲面 Σ 是 $$ z = \sqrt{1 - x^2 - y^2} $$ 这是上半球面，半径为 1，球心在原点。 “外法线”是指从曲面指向球外部的法线方向。对于上半球面，外法线方向是沿径向向外的，即与位置向量 (x, y, z) 同向。

**第二步：角度 α 和 β 的含义** α 是外法线与 x 轴正向的夹角，β 是外法线与 z 轴正向的夹角。 因为外法线方向就是 (x, y, z) 方向（因为球心在原点），所以方向余弦为： $$ \cos\alpha = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} = x $$ $$ \cos\beta = \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} = z $$ 这里注意，在球面上有 $x^2+y^2+z^2=1$，所以分母为1。

**第三步：被积函数化简** 被积函数是 $$ |xy|\cos\alpha + z^2 \cos\beta $$ 代入方向余弦： $$ = |xy| \cdot x + z^2 \cdot z = x|xy| + z^3 $$ 所以曲面积分变为 $$ \iint_{\Sigma} \left( x|xy| + z^3 \right) dS $$

**第四步：利用对称性化简** 我们先看第一项 $x|xy|$。 在 Σ 上，x 和 y 的取值范围对称，且被积函数关于 x 是奇函数（因为 x 是奇，|xy| 是偶，乘积是奇函数），而半球面关于 yz 平面对称，因此这一项积分为 0。

于是只剩下 $$ \iint_{\Sigma} z^3 \, dS $$

**第五步：计算 $\iint_{\Sigma} z^3 dS$** 上半球面参数化： $$ z = \sqrt{1 - x^2 - y^2} $$ 面积元公式：对于显式曲面 $z=f(x,y)$，有 $$ dS = \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}\, dxdy $$ 这里 $$ f_x = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2-y^2}}, \quad f_y = \frac{-y}{\sqrt{1-x^2-y^2}} $$ 所以 $$ 1+f_x^2+f_y^2 = 1 + \frac{x^2+y^2}{1-x^2-y^2} = \frac{1}{1-x^2-y^2} $$ 因此 $$ dS = \frac{1}{\sqrt{1-x^2-y^2}}\, dxdy $$ 于是 $$ z^3 dS = (1-x^2-y^2)^{3/2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2-y^2}} dxdy = (1-x^2-y^2)\, dxdy $$ 积分区域是单位圆盘 $x^2+y^2 \le 1$。

**第六步：极坐标计算** 令 $x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$，则 $$ \iint_{\Sigma} z^3 dS = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 (1-r^2)\, r\, dr $$ 先算内层： $$ \int_0^1 (r - r^3) dr = \left[\frac{r^2}{2} - \frac{r^4}{4}\right]_0^1 = \frac12 - \frac14 = \frac14 $$ 再乘上 $2\pi$ 得 $\frac{\pi}{2}$。

所以最终答案是 $$ \boxed{\frac{\pi}{2}} $$

**难度**：★★☆☆☆ （需要理解方向余弦与对称性，但计算不复杂）

**答案**：$\frac{\pi}{2}$ **解析**：利用外法线方向与位置向量同向得到方向余弦，代入化简后由对称性消去奇函数项，剩余部分用极坐标积分得到结果。 **难度**：★★☆☆☆