kaoyan1basic 高等数学 第29题

好的，我们先整理一下题目信息，并逐步分析这个曲面积分。题目中曲面是 Σ: $ z = 1 - x^2 - y^2 $，且 $ z \ge -3 $，取上侧。 被积表达式是一个第二类曲面积分的形式：

$$ I = \iint_{\Sigma} P\, dy\,dz + Q\, dz\,dx + R\, dx\,dy $$

其中 $$ P = y z \sqrt{x^2+y^2+z^2} $$ $$ Q = x z \sqrt{x^2+y^2+z^2} $$ $$ R = x^2 y^2 - 2 x y \sqrt{x^2+y^2+z^2} $$

因为曲面是开口向下的抛物面截取 $z\ge -3$ 部分，上侧意味着法向量指向与z轴正向成锐角的方向，但这里曲面方程显式为 $z = f(x,y)$，取上侧时，dxdy项的符号直接由公式决定，不需要额外调整符号，但dy dz与dz dx项需要根据曲面投影处理。

---

**第一步：补平面并应用高斯公式** 这个曲面不是封闭的，它的边界在 $z=-3$ 处是一个圆： 由 $ -3 = 1 - x^2 - y^2 $ 得 $ x^2 + y^2 = 4 $，即半径为2的圆。 我们补上平面 $ \Sigma_1: z = -3 $，取下侧（因为原曲面上侧，要构成封闭区域内侧法向需一致向外，这里我们取整个封闭曲面外侧，则补的平面应取下侧）。

设封闭曲面为 $ \Sigma \cup \Sigma_1$，取外侧，由高斯公式：

$$ \iint_{\Sigma \cup \Sigma_1} P dy dz + Q dz dx + R dx dy = \iiint_V \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dV $$

---

**第二步：计算散度**

先算 $$ \frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( y z \sqrt{x^2+y^2+z^2} \right) $$ 把 $y,z$ 看作常数： $$ = y z \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} $$

类似地 $$ \frac{\partial Q}{\partial y} = x z \cdot \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} $$

这两项相加： $$ \frac{xyz}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} + \frac{xyz}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} = \frac{2xyz}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} $$

再算 $$ \frac{\partial R}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} \left( x^2 y^2 - 2xy \sqrt{x^2+y^2+z^2} \right) $$ 第一项与z无关，导数为0；第二项： $$ -2xy \cdot \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} $$

所以散度总和为： $$ \frac{2xyz}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} - \frac{2xyz}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} = 0 $$

散度为0，因此高斯公式的积分结果为0。

---

**第三步：计算补平面上的积分**

由高斯公式： $$ \iint_{\Sigma} + \iint_{\Sigma_1} = 0 $$ 所以 $$ I = -\iint_{\Sigma_1} P dy dz + Q dz dx + R dx dy $$ 在 $\Sigma_1$ 上，$z=-3$，取下侧。取下侧时，对于dxdy项，法向与z轴负方向一致，因此dxdy项积分时取负号；对于dy dz和dz dx项，需要根据投影处理。

更规范的做法：在平面 $z=-3$ 上，取下侧，则方向余弦中 $\cos\gamma < 0$，所以第二类曲面积分转换公式为： $$ \iint_{\Sigma_1} R dxdy = \iint_{D_{xy}} R(x,y,-3) \cdot (-1) dxdy $$ 其中 $D_{xy}$ 是 $x^2+y^2 \le 4$。

另外两项：由于平面垂直于z轴，在yz平面和zx平面上的投影面积为0，所以 $$ \iint_{\Sigma_1} P dy dz = 0,\quad \iint_{\Sigma_1} Q dz dx = 0 $$

因此只需计算： $$ \iint_{\Sigma_1} R dxdy = \iint_{D_{xy}} \left( x^2 y^2 - 2xy \sqrt{x^2+y^2+9} \right) (-1) dxdy $$ 所以 $$ I = - \left[ \iint_{D_{xy}} \left( x^2 y^2 - 2xy\sqrt{x^2+y^2+9} \right)(-1) dxdy \right] $$ 即 $$ I = \iint_{D_{xy}} \left( x^2 y^2 - 2xy\sqrt{x^2+y^2+9} \right) dxdy $$

---

**第四步：计算这个二重积分**

区域是圆盘 $x^2+y^2 \le 4$，用极坐标： $x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta$， $x^2 y^2 = r^4 \cos^2\theta \sin^2\theta = \frac{r^4}{4} \sin^2 2\theta$ 第二项：$2xy = 2 r^2 \cos\theta\sin\theta = r^2 \sin 2\theta$，乘上 $\sqrt{r^2+9}$。

于是： $$ I = \int_0^{2\pi} \int_0^2 \left[ \frac{r^4}{4} \sin^2 2\theta - r^2 \sin 2\theta \sqrt{r^2+9} \right] r\, dr d\theta $$

注意这里面积元是 $r dr d\theta$，所以被积函数中多乘一个r：

第一项： $$ \int_0^{2\pi} \sin^2 2\theta \, d\theta \cdot \int_0^2 \frac{r^5}{4} dr $$ $\sin^2 2\theta$ 周期为 $\pi/2$，在0到2π上积分得 $\pi$。 $\int_0^2 r^5 dr = \frac{2^6}{6} = \frac{64}{6} = \frac{32}{3}$ 乘上系数1/4得 $\frac{8}{3}$，再乘π得 $\frac{8\pi}{3}$。

第二项： $\int_0^{2\pi} \sin 2\theta \, d\theta = 0$，所以第二项积分为0。

因此 $$ I = \frac{8\pi}{3} $$

---

**最终答案**： $$ \boxed{\frac{8\pi}{3}} $$

**难度**：★☆☆☆☆ 主要考察高斯公式的应用以及补面法处理非封闭曲面，计算量不大，但需要细心处理符号。