kaoyan1basic 高等数学 第612题
📝 题目
### 第612题 设 $D$ 是由 $x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}, y \geqslant 0$ 所确定的上半圆域，则 $D$ 的形心的 $y$ 坐标 $\bar{y}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{4a}{3\pi}$ **解析**： 步骤1：上半圆域$D: x^2+y^2\leq a^2, y\geq0$，形心$y$坐标$\displaystyle \bar{y}=\frac{\iint_D y dxdy}{\iint_D dxdy}$。 步骤2：面积$\displaystyle \iint_D dxdy=\frac{1}{2}\pi a^2$。$\iint_D y dxdy$用极坐标：$\displaystyle \int_0^{\pi}d\theta\int_0^a r\sin\theta\cdot r dr=\int_0^{\pi}\sin\theta d\theta\cdot\frac{a^3}{3}=2\cdot\frac{a^3}{3}=\frac{2a^3}{3}$。故$\displaystyle \bar{y}=\frac{2a^3/3}{\pi a^2/2}=\frac{4a}{3\pi}$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出形心y坐标公式
上半圆域D: x^2+y^2≤a^2, y≥0，形心y坐标公式为：\(\bar{y} = \frac{\iint_D y \, dxdy}{\iint_D dxdy}\)
公式：\bar{y} = \frac{\iint_D y \, dxdy}{\iint_D dxdy}
提示：形心坐标是面积矩除以面积
步骤 2/5
目标：计算分母：区域D的面积
D是半径为a的上半圆，面积为：\(\iint_D dxdy = \frac{1}{2}\pi a^2\)
公式：\iint_D dxdy = \frac{1}{2}\pi a^2
提示：半圆面积公式
步骤 3/5
目标：计算分子：y的面积矩
使用极坐标变换：x=rcosθ, y=rsinθ，积分区域：0≤θ≤π, 0≤r≤a。则\(\iint_D y \, dxdy = \int_0^\pi d\theta \int_0^a r\sin\theta \cdot r \, dr = \int_0^\pi \sin\theta \, d\theta \cdot \int_0^a r^2 \, dr\)
公式：\iint_D y \, dxdy = \int_0^\pi \sin\theta \, d\theta \cdot \int_0^a r^2 \, dr
提示：极坐标下面积元dxdy=rdrdθ
步骤 4/5
目标：计算积分值
计算：\(\int_0^\pi \sin\theta \, d\theta = 2\)，\(\int_0^a r^2 \, dr = \frac{a^3}{3}\)，所以\(\iint_D y \, dxdy = 2 \cdot \frac{a^3}{3} = \frac{2a^3}{3}\)
公式：\iint_D y \, dxdy = \frac{2a^3}{3}
提示：注意积分限
步骤 5/5
目标：代入公式求形心y坐标
将分子和分母代入公式：\(\bar{y} = \frac{2a^3/3}{\pi a^2/2} = \frac{4a}{3\pi}\)
公式：\bar{y} = \frac{4a}{3\pi}
提示：化简分数
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