kaoyan1basic 高等数学 第121题
📝 题目
### 第121题 设有下列命题 （1）数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛（即存在极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ），则 $x_{n}$ 有界。 （2）数列极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n+l}=a$ ．其中 $l$ 为某个确定的正整数． （3）数列 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n-1}=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n}=a$ 。 （4）数列极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在 $\displaystyle \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=1$ ． 则以上命题中正确的个数是 （A） 1 ． （B） 2 ． （C） 3 ． （D） 4 ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：命题(1)正确，收敛数列必有界。命题(2)正确，数列极限存在与否与前面有限项无关，去掉或增加有限项不影响极限。命题(3)正确，数列极限存在当且仅当所有子列极限存在且相等，奇偶子列是其中两个。命题(4)错误，反例：$x_n=n$，则$\displaystyle \lim\frac{x_{n+1}}{x_n}=1$但极限不存在。故正确个数为3。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：判断命题(1)的正确性
根据收敛数列的性质，若数列收敛，则它一定有界。因此命题(1)正确。
提示：收敛数列必有界，但有界不一定收敛。
步骤 2/5
目标：判断命题(2)的正确性
数列极限的存在性与前面有限项无关，去掉或增加有限项不影响极限。因此，若lim x_n = a，则lim x_{n+l} = a；反之亦然。命题(2)正确。
提示：极限与有限项无关。
步骤 3/5
目标：判断命题(3)的正确性
数列极限存在当且仅当所有子列极限存在且相等。奇子列和偶子列是其中两个子列，因此若lim x_{2n-1} = lim x_{2n} = a，则lim x_n = a；反之亦然。命题(3)正确。
提示：子列极限相等是数列极限存在的必要条件，但仅两个子列不够，需所有子列。但这里奇偶子列已覆盖所有项，故充分。
步骤 4/5
目标：判断命题(4)的正确性
反例：取x_n = n，则lim (x_{n+1}/x_n) = lim (n+1)/n = 1，但lim x_n不存在（发散到无穷）。因此命题(4)错误。
提示：比值极限为1不能保证原数列收敛，例如等差数列。
步骤 5/5
目标：统计正确命题个数
命题(1)、(2)、(3)正确，命题(4)错误，故正确个数为3。
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