kaoyan1basic 高等数学 第122题
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：由递推$x_{n}=a^{x_{n-1}}$，且$a>1$。先证单调性：$x_2=a^a>a=x_1$，假设$x_n>x_{n-1}$，则$x_{n+1}=a^{x_n}>a^{x_{n-1}}=x_n$，故单调增。再证有界：考虑方程$x=a^x$，当$1
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：证明数列单调递增
首先，由递推公式 $x_n = a^{x_{n-1}}$ 且 $a > 1$。计算 $x_2 = a^a > a = x_1$，所以 $x_2 > x_1$。假设 $x_n > x_{n-1}$，则 $x_{n+1} = a^{x_n} > a^{x_{n-1}} = x_n$，由数学归纳法知数列单调递增。
公式：$x_{n+1} = a^{x_n}$
提示：利用指数函数的单调性：当 $a>1$ 时，$a^x$ 是增函数。
步骤 2/3
目标：证明数列有上界
考虑方程 $x = a^x$。当 $1 < a \leq e^{1/e}$ 时，该方程有解，设解为 $c$，则 $c = a^c$。由于 $x_1 = a \leq c$（因为 $a \leq e^{1/e}$ 时 $a \leq c$），假设 $x_n \leq c$，则 $x_{n+1} = a^{x_n} \leq a^c = c$，由数学归纳法知 $x_n \leq c$ 对所有 $n$ 成立，故数列有上界。
公式：$x = a^x$
提示：方程 $x = a^x$ 的解存在性依赖于 $a$ 的范围，$a \leq e^{1/e}$ 时方程有解。
步骤 3/3
目标：得出结论
数列单调递增且有上界，由单调有界定理，数列收敛，即存在极限。因此选项B正确。
提示：单调有界数列必有极限。
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