kaoyan1basic 高等数学 第123题
📝 题目
### 第123题 有以下命题：设 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=A, \lim _{x \rightarrow a} g(x)$ 不存在， $\lim _{x \rightarrow a} h(x)$ 不存在， （1） $\lim _{x \rightarrow a}(f(x) \cdot g(x))$ 不存在． （2） $\lim _{x \rightarrow a}(g(x)+h(x))$ 不存在． （3） $\lim _{x \rightarrow a}(h(x) \cdot g(x))$ 不存在． （4） $\lim _{x \rightarrow a}(g(x)+f(x))$ 不存在． 则以上命题中正确的个数是 （A） 0 ． （B） 1 ． （C）2． （D） 3 ． $$ $\begin{gathered}$ x \in(1,2) \cup(2,+\infty) \text {, 则 } f(x) \\ x=2 \end{gathered} $$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：命题(1)错误，反例：$f(x)=0$，$g(x)$无极限，乘积为0有极限。命题(2)错误，反例：$\displaystyle g(x)=\sin\frac{1}{x}$，$\displaystyle h(x)=-\sin\frac{1}{x}$，和为零有极限。命题(3)错误，反例：$g(x)=x$，$\displaystyle h(x)=\frac{1}{x}$，乘积为1有极限。命题(4)正确，若$\lim(f+g)$存在，则$\lim g=\lim[(f+g)-f]$存在，矛盾。故只有1个正确。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析命题(1)的正确性
考虑反例：令f(x)=0（极限A=0），g(x)无极限，则f(x)g(x)=0，极限存在为0，故命题(1)错误。
提示：当f(x)为常数0时，乘积恒为0，极限存在。
步骤 2/4
目标：分析命题(2)的正确性
考虑反例：令g(x)=sin(1/x)，h(x)=-sin(1/x)，两者在x→0时极限都不存在，但g(x)+h(x)=0，极限存在为0，故命题(2)错误。
提示：两个无极限的函数之和可能抵消为有极限。
步骤 3/4
目标：分析命题(3)的正确性
考虑反例：令g(x)=x，h(x)=1/x，在x→0时，g(x)极限为0，h(x)极限不存在，但乘积为1，极限存在，故命题(3)错误。
提示：一个极限为0的函数与一个无极限的函数乘积可能有极限。
步骤 4/4
目标：分析命题(4)的正确性
假设lim(g(x)+f(x))存在，由于lim f(x)=A存在，则lim g(x)=lim[(g(x)+f(x))-f(x)]存在，与已知矛盾，故假设不成立，即lim(g(x)+f(x))不存在，命题(4)正确。
公式：若lim u和lim v存在，则lim(u±v)存在，且lim(u±v)=lim u±lim v
提示：利用极限的四则运算法则，反证法。
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