kaoyan1basic 高等数学 第127题
📝 题目
### 第127题 当 $n \rightarrow \infty$ 时，数列 $\displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}-\mathrm{e}$ 是 $\displaystyle \frac{1}{n}$ 的 （A）高阶无穷小。 （B）低阶无穷小。 （C）等价无穷小。 （D）同阶但非等价无穷小。 答题 区
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：考虑极限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{(1+\frac{1}{n})^n-e}{\frac{1}{n}}$。令$\displaystyle x=\frac{1}{n}$，则化为$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{(1+x)^{1/x}-e}{x}$。利用$\displaystyle (1+x)^{1/x}=e^{\frac{\ln(1+x)}{x}}$，泰勒展开得$\displaystyle e^{1-\frac{x}{2}+o(x)}=e\cdot e^{-\frac{x}{2}+o(x)}=e(1-\frac{x}{2}+o(x))$，故分子为$\displaystyle e(-\frac{x}{2}+o(x))$，极限为$\displaystyle -\frac{e}{2}\neq0$且非等价（等价要求极限为1）。故为同阶非等价无穷小。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将数列极限转化为函数极限
令 x = 1/n，则 n → ∞ 对应 x → 0⁺，原极限 lim_{n→∞} [(1+1/n)^n - e] / (1/n) 化为 lim_{x→0⁺} [(1+x)^{1/x} - e] / x。
公式：x = 1/n
提示：注意 x 趋于 0⁺，但极限存在时正负不影响。
步骤 2/3
目标：对 (1+x)^{1/x} 进行变形并泰勒展开
利用恒等式 (1+x)^{1/x} = e^{ln(1+x)/x}。对 ln(1+x) 泰勒展开：ln(1+x) = x - x²/2 + o(x²)，则 ln(1+x)/x = 1 - x/2 + o(x)。因此 (1+x)^{1/x} = e^{1 - x/2 + o(x)} = e · e^{-x/2 + o(x)}。再对 e^{-x/2 + o(x)} 泰勒展开：e^u = 1 + u + o(u)，其中 u = -x/2 + o(x)，故 e^{-x/2 + o(x)} = 1 - x/2 + o(x)。所以 (1+x)^{1/x} = e (1 - x/2 + o(x))。
公式：ln(1+x) = x - x²/2 + o(x²); e^u = 1 + u + o(u)
提示：注意展开到一阶即可，因为分母是 x 的一次方。
步骤 3/3
目标：计算极限并判断阶数
代入展开式：分子 (1+x)^{1/x} - e = e(1 - x/2 + o(x)) - e = -e x/2 + o(x)。因此极限 lim_{x→0} [(-e x/2 + o(x)) / x] = -e/2，为非零常数。所以原数列是 1/n 的同阶无穷小，但非等价（等价要求极限为 1）。
公式：lim_{x→0} [(-e x/2 + o(x)) / x] = -e/2
提示：等价无穷小要求比值的极限为 1，这里为 -e/2，故不是等价。
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