kaoyan1basic 高等数学 第128题
📝 题目
### 第128题 设 $\displaystyle u_{n}=\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{2^{n}}\right)$ ，则下列命题正确的是 （A） $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=0$ ． （B） $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=A>0$ ． （C） $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=+\infty$ ． （D） $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}$ 不存在，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n} \neq+\infty$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：$\displaystyle u_n=\prod_{k=1}^n(1+\frac{1}{2^k})$，该乘积收敛。因为$\displaystyle \ln u_n=\sum_{k=1}^n\ln(1+\frac{1}{2^k})<\sum_{k=1}^n\frac{1}{2^k}=1$，且单调递增有上界，故极限存在且为正数$A>0$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析数列形式
观察 $u_n = \prod_{k=1}^n (1+\frac{1}{2^k})$，是无穷乘积形式。
提示：注意乘积项均大于1，故数列单调递增。
步骤 2/4
目标：取对数转化为级数
考虑 $\ln u_n = \sum_{k=1}^n \ln(1+\frac{1}{2^k})$。
公式：$\ln(1+x) < x$ 对于 $x>0$
提示：利用不等式放缩。
步骤 3/4
目标：证明级数收敛
由于 $\ln(1+\frac{1}{2^k}) < \frac{1}{2^k}$，所以 $\ln u_n < \sum_{k=1}^n \frac{1}{2^k} < 1$，即 $\ln u_n$ 有上界。又 $\ln u_n$ 单调递增，故极限存在，记为 $L$。
公式：$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2^k} = 1$
提示：单调有界准则。
步骤 4/4
目标：确定极限值
由 $\ln u_n$ 收敛于 $L$，则 $u_n = e^{\ln u_n}$ 收敛于 $e^L > 0$。且 $u_n > 1$，故极限 $A > 0$。
提示：指数函数连续性。
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