kaoyan1basic 高等数学 第129题
📝 题目
### 第129题 $f(x)=$\frac{\sin \pi x}{x-1} \mathrm{e}^{\frac{1}{(x-1)^{3}}}$ ，则当 $x \rightarrow 1$ 时有$ （A） $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=-\pi$ ． （B） $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=0$ ． （C） $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=\infty$ ． （D） $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)$ 不存在，且 $\lim _{x \rightarrow 1} f(x) \neq \infty$ \．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：$\displaystyle f(x)=\frac{\sin\pi x}{x-1}e^{\frac{1}{(x-1)^3}}$。当$x\to1$时，$\displaystyle \frac{\sin\pi x}{x-1}\to -\pi$（因为$\sin\pi x=-\sin\pi(x-1)\sim -\pi(x-1)$）。而$\displaystyle e^{\frac{1}{(x-1)^3}}$，当$x\to1^+$时，$(x-1)^3\to0^+$，指数$+\infty$，趋于$+\infty$；当$x\to1^-$时，$(x-1)^3\to0^-$，指数$-\infty$，趋于0。故左右极限不相等，极限不存在且不为无穷。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析函数在x→1时的行为
将f(x)分解为两部分：g(x)=sin(πx)/(x-1)和h(x)=e^{1/(x-1)^3}。分别分析x→1时g(x)和h(x)的极限。
公式：f(x)=g(x)h(x)
提示：注意x→1时，sin(πx)可化为-sin(π(x-1))。
步骤 2/4
目标：计算g(x)的极限
令t=x-1，则x→1时t→0。sin(πx)=sin(π(t+1))=-sin(πt)~ -πt。所以g(x)=sin(πx)/(x-1)~ -πt/t = -π。因此lim_{x→1} g(x) = -π。
公式：sin(πx) ~ -π(x-1) (x→1)
提示：使用等价无穷小替换。
步骤 3/4
目标：分析h(x)的左右极限
h(x)=e^{1/(x-1)^3}。当x→1+时，x-1→0+，则(x-1)^3→0+，1/(x-1)^3→+∞，所以h(x)→+∞。当x→1-时，x-1→0-，则(x-1)^3→0-，1/(x-1)^3→-∞，所以h(x)→0。
公式：e^{1/(x-1)^3}
提示：注意指数符号取决于(x-1)^3的符号。
步骤 4/4
目标：综合左右极限判断f(x)的极限
由于g(x)→-π（非零常数），而h(x)在x→1+时趋于+∞，在x→1-时趋于0，因此f(x)=g(x)h(x)的左右极限分别为：左极限：(-π)*0=0；右极限：(-π)*(+∞)=-∞。左右极限不相等，且右极限为无穷，但左极限为有限，故极限不存在且不为无穷。
公式：lim_{x→1+} f(x) = -∞, lim_{x→1-} f(x) = 0
提示：左右极限不等则极限不存在；由于一侧为无穷，另一侧有限，故不是无穷极限。
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