kaoyan1basic 高等数学 第130题
📝 题目
### 第130题 I=$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos \left(x \mathrm{e}^{x}\right)-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2} \mathrm{e}^{2 x}}}{x^{4}}=$$ （A） 0 ． （B）$-\frac{1}{6}$ ． （C）$-\frac{1}{8}$ ． （D）$-\frac{1}{12}$ ．$
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：利用泰勒展开。$\displaystyle \cos(xe^x)=1-\frac{(xe^x)^2}{2}+\frac{(xe^x)^4}{24}+o(x^4)=1-\frac{x^2}{2}(1+2x+2x^2+o(x^2))+\frac{x^4}{24}+o(x^4)=1-\frac{x^2}{2}-x^3-\frac{11}{12}x^4+o(x^4)$。$\displaystyle e^{-\frac{x^2}{2}e^{2x}}=1-\frac{x^2}{2}e^{2x}+\frac{x^4}{8}e^{4x}+o(x^4)=1-\frac{x^2}{2}(1+2x+2x^2+o(x^2))+\frac{x^4}{8}+o(x^4)=1-\frac{x^2}{2}-x^3-\frac{3}{4}x^4+o(x^4)$。相减得$\displaystyle (-\frac{11}{12}+\frac{3}{4})x^4+o(x^4)=-\frac{1}{6}x^4+o(x^4)$，除以$x^4$得$\displaystyle -\frac{1}{6}$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将分子中的两个函数分别泰勒展开到x^4阶
首先，对cos(xe^x)进行泰勒展开。令u = xe^x，则cos(u) = 1 - u^2/2 + u^4/24 + o(u^4)。由于u = x(1+x+o(x)) = x + x^2 + o(x^2)，所以u^2 = x^2 + 2x^3 + 2x^4 + o(x^4)，u^4 = x^4 + o(x^4)。代入得cos(xe^x) = 1 - (x^2+2x^3+2x^4)/2 + x^4/24 + o(x^4) = 1 - x^2/2 - x^3 - (1 - 1/24)x^4 + o(x^4) = 1 - x^2/2 - x^3 - 23/24 x^4 + o(x^4)。
公式：cos(u) = 1 - u^2/2 + u^4/24 + o(u^4)
提示：注意u = xe^x的展开，以及乘方时保留到x^4阶。
步骤 2/3
目标：对e^{-x^2 e^{2x}/2}进行泰勒展开
令v = x^2 e^{2x}/2，则e^{-v} = 1 - v + v^2/2 + o(v^2)。先展开v：x^2 e^{2x} = x^2(1+2x+2x^2+o(x^2)) = x^2 + 2x^3 + 2x^4 + o(x^4)，所以v = (x^2+2x^3+2x^4)/2 + o(x^4) = x^2/2 + x^3 + x^4 + o(x^4)。然后v^2 = x^4/4 + o(x^4)。代入得e^{-v} = 1 - (x^2/2 + x^3 + x^4) + (x^4/4)/2 + o(x^4) = 1 - x^2/2 - x^3 - x^4 + x^4/8 + o(x^4) = 1 - x^2/2 - x^3 - 7/8 x^4 + o(x^4)。
公式：e^{-v} = 1 - v + v^2/2 + o(v^2)
提示：注意v的展开要准确到x^4阶，v^2只需到x^4阶。
步骤 3/3
目标：计算分子差并除以x^4求极限
分子 = cos(xe^x) - e^{-x^2 e^{2x}/2} = [1 - x^2/2 - x^3 - 23/24 x^4 + o(x^4)] - [1 - x^2/2 - x^3 - 7/8 x^4 + o(x^4)] = (-23/24 + 7/8)x^4 + o(x^4) = (-23/24 + 21/24)x^4 + o(x^4) = -2/24 x^4 + o(x^4) = -1/12 x^4 + o(x^4)。因此极限I = lim_{x->0} (-1/12 x^4 + o(x^4))/x^4 = -1/12。
公式：极限 = 分子最低阶系数
提示：相减时注意抵消低阶项，只保留x^4项。
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