kaoyan1basic 高等数学 第131题
📝 题目
### 第131题 若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos 2 x-\sqrt{\cos 2 x}}{x^{k}}=a \neq 0$ ，则 （A）$k=2, a=1$ ． （B）$k=-2, a=-1$ ． （C）$k=2, a=-2$ ． （D）$k=2, a=-1$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：$\cos2x-\sqrt{\cos2x}=\sqrt{\cos2x}(\sqrt{\cos2x}-1)$。当$x\to0$，$\cos2x\sim1-2x^2$，$\sqrt{\cos2x}\sim1-x^2$，则$\sqrt{\cos2x}-1\sim -x^2$，故分子$\sim -x^2$。因此$k=2$，$a=-1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：化简分子表达式
将分子 cos2x - √(cos2x) 提取公因式 √(cos2x)，得到 √(cos2x)(√(cos2x) - 1)。
公式：cos2x - √(cos2x) = √(cos2x)(√(cos2x) - 1)
提示：提取公因式可以简化表达式，便于后续等价无穷小替换。
步骤 2/4
目标：利用等价无穷小替换
当 x→0 时，cos2x ~ 1 - 2x²，因此 √(cos2x) ~ 1 - x²，进而 √(cos2x) - 1 ~ -x²。同时 √(cos2x) ~ 1。
公式：cos2x ~ 1 - 2x², √(cos2x) ~ 1 - x², √(cos2x) - 1 ~ -x²
提示：注意等价无穷小替换时，要保证替换后的表达式与原始表达式在极限过程中是等价的。
步骤 3/4
目标：确定分子等价无穷小
由以上替换，分子 cos2x - √(cos2x) ~ 1 * (-x²) = -x²。
公式：cos2x - √(cos2x) ~ -x²
提示：乘积的等价无穷小等于各自等价无穷小的乘积。
步骤 4/4
目标：代入极限并确定参数
原极限 lim_{x→0} (-x²)/x^k = a ≠ 0，因此分母必须为 x² 才能得到非零常数，故 k=2，且 a = -1。
公式：lim_{x→0} (-x²)/x^k = a ≠ 0 ⇒ k=2, a=-1
提示：极限存在且非零，要求分子与分母同阶。
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