kaoyan1basic 高等数学 第132题
📝 题目
### 第132题 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sin x)-\cos x}{(1-\cos x) \sin ^{2} x}=$$ （A） 1 ． （B）$\frac{1}{2}$ ． （C）$\frac{1}{3}$ ． （D） 0 ． $$ $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}}{\mathrm{e}^{x}}=$ $$
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：分子$\displaystyle \cos(\sin x)-\cos x=-2\sin\frac{\sin x+x}{2}\sin\frac{\sin x-x}{2}$。当$x\to0$，$\displaystyle \sin x\sim x-\frac{x^3}{6}$，$\displaystyle \sin x-x\sim -\frac{x^3}{6}$，$\sin x+x\sim 2x$，故分子$\displaystyle \sim -2\cdot x\cdot(-\frac{x^3}{12})=\frac{x^4}{6}$。分母$\displaystyle (1-\cos x)\sin^2 x\sim \frac{x^2}{2}\cdot x^2=\frac{x^4}{2}$。故极限为$\displaystyle \frac{1/6}{1/2}=\frac{1}{3}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：化简分子
利用和差化积公式：cos(sin x) - cos x = -2 sin((sin x + x)/2) sin((sin x - x)/2)。
公式：cos A - cos B = -2 sin((A+B)/2) sin((A-B)/2)
提示：注意符号，sin函数为奇函数。
步骤 2/4
目标：对分子中的sin x进行泰勒展开
当x→0时，sin x ~ x - x^3/6，因此 sin x - x ~ -x^3/6，sin x + x ~ 2x。代入分子：-2 sin((sin x + x)/2) sin((sin x - x)/2) ~ -2 * (x) * (-x^3/12) = x^4/6。
公式：sin x = x - x^3/6 + o(x^3)
提示：注意展开到足够阶数，分子为x^4阶。
步骤 3/4
目标：化简分母
当x→0时，1 - cos x ~ x^2/2，sin x ~ x，因此分母 (1 - cos x) sin^2 x ~ (x^2/2) * x^2 = x^4/2。
公式：1 - cos x ~ x^2/2, sin x ~ x
提示：等价无穷小替换时注意乘积形式。
步骤 4/4
目标：计算极限
原极限 = lim_{x→0} (x^4/6) / (x^4/2) = (1/6) / (1/2) = 1/3。
提示：约去x^4后直接得到常数。
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