kaoyan1basic 高等数学 第134题
📝 题目
### 第134题 已知 $\displaystyle I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x^{2}+b x+1-\mathrm{e}^{x^{2}-2 x}}{x^{2}}=2$ ，则 （A）$a=5, b=-2$ ． （B）$a=-2, b=5$ ． （C）$a=2, b=0$ ． （D）$a=3, b=-3$ ．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：$\displaystyle e^{x^2-2x}=1+(x^2-2x)+\frac{(x^2-2x)^2}{2}+o(x^2)=1-2x+2x^2+o(x^2)$。代入分子：$ax^2+bx+1-(1-2x+2x^2+o(x^2))=(a-2)x^2+(b+2)x+o(x^2)$。极限为2，则一次项系数$b+2=0$，二次项系数$a-2=2$，解得$a=4$，$b=-2$。但选项无此组合，检查原题：可能题目有误，按解析得$a=4,b=-2$，但选项A为$a=5,b=-2$，需重新计算。实际上$e^{x^2-2x}=1-2x+3x^2+o(x^2)$（因为$(x^2-2x)^2/2=2x^2-2x^3+x^4/2$，取到$x^2$项为$2x^2$，加上$-2x$和$x^2$得$1-2x+3x^2$），则分子$(a-3)x^2+(b+2)x$，故$b+2=0$，$a-3=2$，得$a=5,b=-2$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将指数函数 e^{x^2-2x} 展开为泰勒级数到 x^2 项
利用 e^u = 1 + u + u^2/2 + o(u^2)，其中 u = x^2 - 2x。计算 u^2 = (x^2-2x)^2 = x^4 - 4x^3 + 4x^2，取到 x^2 项得 4x^2。因此 e^{x^2-2x} = 1 + (x^2-2x) + (4x^2)/2 + o(x^2) = 1 - 2x + 3x^2 + o(x^2)。
公式：e^u = 1 + u + u^2/2 + o(u^2)
提示：注意展开时保留到 x^2 项，因为分母是 x^2。
步骤 2/3
目标：代入分子并化简
分子为 a x^2 + b x + 1 - e^{x^2-2x} = a x^2 + b x + 1 - [1 - 2x + 3x^2 + o(x^2)] = (a-3)x^2 + (b+2)x + o(x^2)。
提示：合并同类项时注意符号。
步骤 3/3
目标：根据极限值确定系数
极限 I = lim_{x→0} [(a-3)x^2 + (b+2)x + o(x^2)] / x^2 = 2。由于极限存在且为常数，一次项系数必须为0，即 b+2=0，得 b=-2。然后二次项系数除以1得 a-3=2，解得 a=5。
公式：lim_{x→0} (c x + d x^2)/x^2 存在则 c=0
提示：注意极限为2，所以二次项系数等于2。
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