kaoyan1basic 高等数学 第135题
📝 题目
### 第135题 设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 6 x-(\sin x) f(x)}{x^{3}}=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{6-f(x)}{x^{2}}=$ （A） 0 ． （B） 35 ． （C） 36 ． （D）$\infty$ ． 答题 区 （J）纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：由$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin6x-(\sin x)f(x)}{x^3}=0$，得$\sin6x-(\sin x)f(x)=o(x^3)$。$\sin6x=6x-36x^3+o(x^3)$，$\displaystyle \sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$。设$f(x)=6+Ax^2+o(x^2)$，则$\displaystyle (\sin x)f(x)=(x-\frac{x^3}{6})(6+Ax^2)+o(x^3)=6x+Ax^3-x^3+o(x^3)=6x+(A-1)x^3+o(x^3)$。代入得$(6x-36x^3)-(6x+(A-1)x^3)+o(x^3)=(-36-A+1)x^3+o(x^3)=0$，故$-35-A=0$，$A=-35$。则$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{6-f(x)}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{-Ax^2}{x^2}=35$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用已知极限条件，将分子展开为泰勒级数
由已知极限条件，有 sin6x - (sin x)f(x) = o(x^3)。将 sin6x 和 sin x 在 x=0 处展开：sin6x = 6x - 36x^3 + o(x^3)，sin x = x - x^3/6 + o(x^3)。
公式：sin u = u - u^3/6 + o(u^3)
提示：注意展开到 x^3 项，因为分母是 x^3。
步骤 2/5
目标：设 f(x) 的泰勒展开形式
由于极限为0，f(x) 在 x=0 处应满足 f(0)=6，且展开到 x^2 项。设 f(x) = 6 + A x^2 + o(x^2)。
公式：f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2/2 + ...
提示：因为分母是 x^2，所以只需设到 x^2 项。
步骤 3/5
目标：计算 (sin x)f(x) 的展开式
将 sin x 和 f(x) 的展开式相乘：(sin x)f(x) = (x - x^3/6)(6 + A x^2) + o(x^3) = 6x + A x^3 - x^3 + o(x^3) = 6x + (A-1)x^3 + o(x^3)。
公式：乘积展开，忽略高于 x^3 的项
提示：注意 x * x^2 = x^3，x^3/6 * 6 = x^3。
步骤 4/5
目标：代入极限条件，求解 A
将 sin6x 和 (sin x)f(x) 的展开式代入： (6x - 36x^3) - [6x + (A-1)x^3] + o(x^3) = (-36 - A + 1)x^3 + o(x^3) = 0，所以 -35 - A = 0，得 A = -35。
公式：o(x^3) 项忽略，系数为零
提示：x^3 系数必须为零。
步骤 5/5
目标：计算所求极限
所求极限为 lim_{x→0} (6 - f(x))/x^2 = lim_{x→0} (6 - (6 + A x^2 + o(x^2)))/x^2 = lim_{x→0} (-A x^2 + o(x^2))/x^2 = -A = 35。
公式：极限等于 -A
提示：注意 A = -35，所以 -A = 35。
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