kaoyan1basic 高等数学 第136题
📝 题目
### 第136题 下列各题计算过程中正确无误的是 （A）数列极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln n}{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(\ln n)^{\prime}}{n^{\prime}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0$ ． （B） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sin \pi x}{3 x^{2}-2 x-1}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\pi \cos \pi x}{6 x-2}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{-\pi^{2} \sin \pi x}{6}=0$ ． （C） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} \sin \frac{1}{x}}{\sin x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 x \sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}}{\cos x}$ 不存在． （D） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x+\sin x}{x-\sin x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+\cos x}{1-\cos x}=\infty$ ． 答题 区
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：选项A错误，洛必达法则适用于函数极限，数列极限不能直接对n求导。步骤2：选项B错误，第一次洛必达后极限为$\displaystyle \frac{\pi \cos \pi}{6-2} = \frac{-\pi}{4} \neq 0$，第二次洛必达不满足条件。步骤3：选项C错误，原极限$\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{x^2 \sin\frac{1}{x}}{\sin x} = \lim_{x\to 0} \frac{x}{\sin x} \cdot x \sin\frac{1}{x} = 1 \cdot 0 = 0$，洛必达后极限不存在不能说明原极限不存在。步骤4：选项D正确，$\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{1+\cos x}{1-\cos x} = \infty$。 **难度**：★★☆☆☆