kaoyan1basic 高等数学 第137题
📝 题目
### 第137题 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^{2}+n+1}+\frac{2}{n^{2}+n+2}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n+n}\right)=$$ （A） 3 ． （B） 2 ． （C）$\frac{2}{3}$ ． （D）$\frac{1}{2}$ ． 答题 区$
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：由夹逼准则，$\displaystyle \frac{k}{n^2+n+n} \leq \frac{k}{n^2+n+k} \leq \frac{k}{n^2+n+1}$。步骤2：左边和$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+2n} = \frac{n(n+1)}{2(n^2+2n)} \to \frac{1}{2}$，右边和$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+n+1} = \frac{n(n+1)}{2(n^2+n+1)} \to \frac{1}{2}$。步骤3：由夹逼准则，原极限为$\displaystyle \frac{1}{2}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用夹逼准则，对通项进行放缩
对于每个k=1,...,n，有不等式：\frac{k}{n^2+n+n} ≤ \frac{k}{n^2+n+k} ≤ \frac{k}{n^2+n+1}。因为分母越大，分数值越小。
公式：\frac{k}{n^2+2n} ≤ \frac{k}{n^2+n+k} ≤ \frac{k}{n^2+n+1}
提示：注意分母中k的范围是1到n，所以最左边分母取最大k=n，最右边分母取最小k=1。
步骤 2/4
目标：计算左边和式的极限
左边和式：\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+2n} = \frac{1}{n^2+2n} \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2(n^2+2n)}。当n→∞时，极限为1/2。
公式：\lim_{n\to\infty} \frac{n(n+1)}{2(n^2+2n)} = \frac{1}{2}
提示：分子分母同除以n^2，得(1+1/n)/(2(1+2/n))→1/2。
步骤 3/4
目标：计算右边和式的极限
右边和式：\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+n+1} = \frac{1}{n^2+n+1} \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2(n^2+n+1)}。当n→∞时，极限也为1/2。
公式：\lim_{n\to\infty} \frac{n(n+1)}{2(n^2+n+1)} = \frac{1}{2}
提示：同样分子分母同除以n^2，得(1+1/n)/(2(1+1/n+1/n^2))→1/2。
步骤 4/4
目标：应用夹逼准则得出原极限
由于左边和式与右边和式的极限均为1/2，且原和式介于两者之间，由夹逼准则知原极限为1/2。
公式：\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+n+k} = \frac{1}{2}
提示：夹逼准则：若a_n ≤ b_n ≤ c_n且lim a_n = lim c_n = L，则lim b_n = L。
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