kaoyan1basic 高等数学 第138题
📝 题目
### 第138题 当 $x \rightarrow 0$ 时下列无穷小中阶数最高的是 （A）$(1+x)^{x^{2}}-1$ ． （B） $\mathrm{e}^{x^{4}-2 x}-1$ ． （C） $\int_{0}^{x^{2}} \sin t^{2} \mathrm{~d} t$ ． （D）$\sqrt{1+2 x}-\sqrt[3]{1+3 x}$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：A项，$(1+x)^{x^2}-1 = e^{x^2\ln(1+x)}-1 \sim x^3$，阶数为3。步骤2：B项，$e^{x^4-2x}-1 \sim -2x$，阶数为1。步骤3：C项，$\displaystyle \int_0^{x^2} \sin t^2 dt \sim \int_0^{x^2} t^2 dt = \frac{x^6}{3}$，阶数为6。步骤4：D项，$\displaystyle \sqrt{1+2x}-\sqrt[3]{1+3x} = (1+x-\frac{x^2}{2}+\cdots)-(1+x-\frac{3}{2}x^2+\cdots) \sim x^2$，阶数为2。比较得C项阶数最高。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：比较各无穷小的阶数，找出阶数最高的选项
分别计算每个选项的等价无穷小，确定其阶数。
步骤 2/6
目标：分析选项A：$(1+x)^{x^2}-1$
利用等价无穷小：$(1+x)^{x^2}-1 = e^{x^2\ln(1+x)}-1 \sim x^2\ln(1+x) \sim x^3$，阶数为3。
公式：$e^u-1\sim u$，$\ln(1+x)\sim x$
提示：注意指数函数的处理，先取对数再等价替换。
步骤 3/6
目标：分析选项B：$e^{x^4-2x}-1$
利用等价无穷小：$e^{x^4-2x}-1 \sim x^4-2x \sim -2x$，阶数为1。
公式：$e^u-1\sim u$
提示：当u中最低次项为一次时，等价于该一次项。
步骤 4/6
目标：分析选项C：$\int_0^{x^2} \sin t^2 dt$
利用等价无穷小：当$t\to 0$时，$\sin t^2 \sim t^2$，所以积分$\sim \int_0^{x^2} t^2 dt = \frac{x^6}{3}$，阶数为6。
公式：$\sin u \sim u$，$\int_0^{x^2} t^2 dt = \frac{x^6}{3}$
提示：被积函数等价替换后积分，注意积分上限是$x^2$。
步骤 5/6
目标：分析选项D：$\sqrt{1+2x}-\sqrt[3]{1+3x}$
利用泰勒展开：$\sqrt{1+2x}=1+x-\frac{x^2}{2}+\cdots$，$\sqrt[3]{1+3x}=1+x-\frac{3}{2}x^2+\cdots$，相减得$\sim x^2$，阶数为2。
公式：$(1+u)^\alpha = 1+\alpha u+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}u^2+\cdots$
提示：展开到二阶，注意系数计算。
步骤 6/6
目标：比较各阶数
A:3阶，B:1阶，C:6阶，D:2阶。因此C项阶数最高。
提示：阶数越大，趋于0的速度越快。
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