kaoyan1basic 高等数学 第139题
📝 题目
### 第139题 设 $x \rightarrow a$ 时 $f(x)$ 与 $g(x)$ 分别是 $x-a$ 的 $n$ 阶与 $m$ 阶无穷小，则下列命题 （1）$f(x) g(x)$ 是 $x-a$ 的 $n+m$ 阶无穷小。 （2）若 $n>m$ ，则 $\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}$ 是 $x-a$ 的 $n-m$ 阶无穷小． （3）若 $n \leqslant m$ ，则 $f(x)+g(x)$ 是 $x-a$ 的 $n$ 阶无穷小． （4）若 $f(x)$ 连续，则 $\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 是 $x-a$ 的 $n+1$ 阶无穷小． 中，正确的个数是 （A） 1 ． （B） 2 ． （C） 3 ． （D） 4 ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：命题(1)正确，$f(x)g(x) \sim A(x-a)^n \cdot B(x-a)^m = AB(x-a)^{n+m}$。步骤2：命题(2)正确，$n>m$时$\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)} \sim \frac{A}{B}(x-a)^{n-m}$。步骤3：命题(3)错误，若$n=m$，可能抵消使阶数升高。步骤4：命题(4)正确，$\displaystyle \int_a^x f(t)dt \sim \frac{A}{n+1}(x-a)^{n+1}$。正确个数为3。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：判断命题(1)的正确性
设f(x) ~ A(x-a)^n，g(x) ~ B(x-a)^m，则f(x)g(x) ~ AB(x-a)^{n+m}，故f(x)g(x)是x-a的n+m阶无穷小，命题(1)正确。
公式：f(x)g(x) ~ AB(x-a)^{n+m}
提示：无穷小乘积的阶数等于阶数之和。
步骤 2/4
目标：判断命题(2)的正确性
若n>m，则f(x)/g(x) ~ (A/B)(x-a)^{n-m}，故是x-a的n-m阶无穷小，命题(2)正确。
公式：f(x)/g(x) ~ (A/B)(x-a)^{n-m}
提示：注意分母不为零且阶数相减为正。
步骤 3/4
目标：判断命题(3)的正确性
若n
公式：f(x)+g(x) ~ 较低阶无穷小（同阶时可能抵消）
提示：同阶无穷小相加可能抵消，需具体分析。
步骤 4/4
目标：判断命题(4)的正确性
由f(x)连续且f(x) ~ A(x-a)^n，则∫_a^x f(t)dt ~ A/(n+1)(x-a)^{n+1}，故是x-a的n+1阶无穷小，命题(4)正确。
公式：∫_a^x f(t)dt ~ A/(n+1)(x-a)^{n+1}
提示：积分提高一阶无穷小。
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