kaoyan1basic 高等数学 第140题
📝 题目
### 第140题 设 $f(x)=\int_{0}^{x} t \mathrm{e}^{\sin t} \mathrm{~d} t$ ，则当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)$ 为无穷小 $x$ 的阶为 （A）一阶。 （B）二阶。 （C）三阶。 （D）四阶．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：当$x\to 0$时，$t e^{\sin t} \sim t(1+t+\cdots) \sim t$。步骤2：$\displaystyle f(x)=\int_0^x t e^{\sin t} dt \sim \int_0^x t dt = \frac{x^2}{2}$。步骤3：因此$f(x)$是$x$的二阶无穷小。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定被积函数在x→0时的等价无穷小
当x→0时，t→0，因此e^{sin t} ~ 1 + sin t ~ 1 + t，所以t e^{sin t} ~ t(1+t) ~ t。更精确地，由于e^{sin t} → 1，t e^{sin t} ~ t。
公式：e^{sin t} ~ 1 (t→0)
提示：注意被积函数中t是积分变量，x是积分上限，当x→0时，积分区间趋于0，被积函数在t=0附近的行为决定无穷小的阶。
步骤 2/3
目标：利用等价无穷小替换被积函数，计算积分
由第一步，t e^{sin t} ~ t，因此f(x) = ∫_0^x t e^{sin t} dt ~ ∫_0^x t dt = x^2/2。
公式：∫_0^x t dt = x^2/2
提示：等价无穷小替换在积分中成立，因为积分区间趋于0，且被积函数连续。
步骤 3/3
目标：判断f(x)关于x的无穷小的阶
由f(x) ~ x^2/2，可知f(x)是x的二阶无穷小。
提示：无穷小的阶：若f(x) ~ C x^k (C≠0)，则阶数为k。
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