kaoyan1basic 高等数学 第141题
📝 题目
### 第141题 以下函数 $f(g(x))$ 以 $x=0$ 为第二类间断点的是 （A）$f(u)=\ln \left(1+u^{2}\right), g(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sin ^{2} x+(x+1)^{2}, & x \leqslant 0 \\ x^{2}+1, & x>0\end{array}\right.$ ． （B）$f(u)=\left\{\begin{array}{ll}1-u, & u \leqslant 0 \\ u^{2}+1, & u>0\end{array}, g(x)=2 \cos x-1\right.$ ． （C）$\displaystyle f(u)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\ln \left(1-u^{2}\right)}{u} \sin \frac{1}{u}, & u<0 \\ 1-\cos \sqrt{u}, & u \geqslant 0\end{array}, g(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & x<0 \\ x+\frac{\pi^{2}}{4}, & x \geqslant 0\end{array}\right.\right.$ ． （D）$\displaystyle f(u)=\mathrm{e}^{u^{2}}+1, g(x)= \begin{cases}\frac{1}{x}, & x<0 \\ 0, & x=0 \\ \sin \frac{1}{x}, & x>0\end{cases}$
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：A项，$g(0)=1$，$f(g(x))$在$x=0$连续。步骤2：B项，$g(0)=1$，$f(1)=2$，$f(g(x))$在$x=0$连续。步骤3：C项，$x\to 0^-$时$g(x)\to 0^-$，$\displaystyle f(u)\sim \frac{\ln(1-u^2)}{u}\sin\frac{1}{u} \sim -u\sin\frac{1}{u} \to 0$；$x\to 0^+$时$\displaystyle g(x)\to \frac{\pi^2}{4}$，$\displaystyle f(u)=1-\cos\sqrt{u} \to 1-\cos\frac{\pi}{2}=1$，左右极限不相等，且为跳跃间断点，非第二类。步骤4：D项，$x\to 0^-$时$g(x)\to -\infty$，$f(u)=e^{u^2}+1 \to \infty$；$x\to 0^+$时$\displaystyle g(x)=\sin\frac{1}{x}$振荡，$f(u)$振荡，$x=0$为第二类间断点。 **难度**：★★★★☆