kaoyan1basic 高等数学 第142题
📝 题目
### 第142题 设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\arctan \frac{x-1}{x}}$ ，则 （A）$x=0$ 与 $x=1$ 都是 $f(x)$ 的第一类间断点。 （B）$x=0$ 与 $x=1$ 都是 $f(x)$ 的第二类间断点． （C）$x=0$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点，$x=1$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点． （D）$x=0$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点，$x=1$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点． 答题 区
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：$x=0$处，$\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{x-1}{x} = -\infty$，$\displaystyle \arctan(-\infty) = -\frac{\pi}{2}$，$\displaystyle \lim_{x\to 0} f(x) = -\frac{2}{\pi}$，极限存在，但$x=0$不在定义域内，为可去间断点（第一类）。步骤2：$x=1$处，$\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{x-1}{x}=0$，$\arctan 0=0$，$\lim_{x\to 1} f(x)=\infty$，为第二类间断点。步骤3：因此$x=0$是第一类，$x=1$是第二类。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析x=0处的间断点类型
计算极限：当x→0时， (x-1)/x → -∞， arctan(-∞) = -π/2， 所以 f(x) → 1/(-π/2) = -2/π。 极限存在，但x=0不在定义域内，故为可去间断点（第一类）。
公式：lim_{x→0} f(x) = -2/π
提示：注意arctan(±∞)的极限值
步骤 2/3
目标：分析x=1处的间断点类型
计算极限：当x→1时， (x-1)/x → 0， arctan 0 = 0， 所以 f(x) → 1/0 = ∞。 极限为无穷大，故为第二类间断点。
公式：lim_{x→1} f(x) = ∞
提示：分母趋于0时函数趋于无穷
步骤 3/3
目标：得出结论
x=0是第一类间断点，x=1是第二类间断点，对应选项D。
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