kaoyan1basic 高等数学 第143题
📝 题目
### 第143题 设 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某邻域内有定义，且 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 间断，则在点 $x_{0}$ 处必定间断的函数是 （A）$f(x) \sin x$ ． （B）$f(x)+\sin x$ ． （C）$f^{2}(x)$ ． （D）$|f(x)|$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：若$f(x)$在$x_0$间断，$f(x)+\sin x$在$x_0$必间断，否则$f(x)=[f(x)+\sin x]-\sin x$连续，矛盾。步骤2：A项，取$f(x)=\begin{cases}1, & x\neq 0 \\ 0, & x=0\end{cases}$，$\sin x$在$x=0$为0，$f(x)\sin x$连续。步骤3：C项，取$f(x)=\begin{cases}1, & x\geq 0 \\ -1, & x<0\end{cases}$，$f^2(x)=1$连续。步骤4：D项，取$f(x)=\begin{cases}1, & x\geq 0 \\ -1, & x<0\end{cases}$，$|f(x)|=1$连续。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析选项B
若f(x)在x0间断，假设f(x)+sinx在x0连续，则f(x)=[f(x)+sinx]-sinx连续，矛盾。因此f(x)+sinx在x0必间断。
提示：利用连续函数的四则运算性质：连续函数之差仍连续。
步骤 2/4
目标：分析选项A
构造反例：取f(x)=1（x≠0），f(0)=0，sinx在x=0为0，则f(x)sinx=0（x=0）或sinx（x≠0），在x=0处连续。
提示：间断函数乘以连续函数可能连续，若连续函数在该点值为0。
步骤 3/4
目标：分析选项C
构造反例：取f(x)=1（x≥0），f(x)=-1（x<0），则f^2(x)=1处处连续。
提示：平方运算可能消除间断，如符号函数平方后为常数。
步骤 4/4
目标：分析选项D
构造反例：取f(x)=1（x≥0），f(x)=-1（x<0），则|f(x)|=1处处连续。
提示：绝对值运算可能消除间断，如符号函数取绝对值后为常数。
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